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Aumentar tamaño del texto Disminuir tamaño del texto Partir el texto en columnas Ver como pdf 12-04-2010

Recordando a Manuel Sacristn (1925-1985), veinticinco aos despus
Sacristn y el gran teorema de incompletud

Salvador Lpez Arnal
Rebelin


Junto a las presentciones y aproximaciones de Jess Mostern y los artculos de Albert Domingo Curto, dos han sido, en mi opinion, los mejores trabajos publicados hasta la fecha sobre la obra lgica de Manuel Sacristn. El primero, que lleva en su mismo ttulo un homenaje explcito a la obra sacristianana, tiene al lgico, filsofo, profesor e historiador Luis Vega Ren como autor: El lugar de Sacristn en los estudios de lgica en Espaa. El segundo, de Paula Olmos y de Luis Vega, se centra en La recepcin de Gdel en Espaa [2]. En ambos se destaca el papel de Sacristn en la comprensin ajustada y en la difusion del gran teorema de incompletud de Gdel en nuestro pas [3].

Lo esencial de la aportacin gdeliana era apuntado por el propio Sacristn en las clases de metodologa de las ciencias sociales del curso 1983-1984 en los trminos siguientes:

En primer lugar, sealaba, lo que Gdel haba demostrado es que no era posible construir un clculo que fuera, simultneamente, completo y consistente y que tuviera toda la expresividad de la aritmtica, pero s, en cambio,

[] puede haber clculos parciales que sea su vez completos y no contradictorios. Es decir, el teorema de incompletud prueba es que no es posible construir un clculo que resuelva todos los problemas de la aritmtica, pero no impide que podamos construir un clculo efectivo frente a determinado problema.

Por otra parte, lo que el teorema de incompletud de Gdel pareca sealar es que no es posible buscar fundamentos definitivos y absolutos del conocimiento cientfico, ni siquiera en el mbito de las ciencias formales.

Finalmente, conclua Sacristn, el teorema de Gdel habra que verlo ms bien como un xito de la lgica y de la matemtica que como fracaso alguno: son las nicas disciplinas que han sido capaces de decir hasta donde pueden llegar.

No fue la nica ocasin en esos aos. Como un Sokal-Bricmont avant la lettre, Sacristn coment crticamente en las clases de metodologa de 1981-82 los usos imprecisos y poco informados de Rgis Debray en algunos ensayos de teora poltica publicados en Espaa en aquellos aos (al igual que en algunos de sus comentaristas) en los que la nocin de completed e incompletud se estiraba de forma excesivamente metafrica y arriesgada.

Pero fue en sus dos libros de lgica donde se aproxim a la figura de Gdel, a sus teoremas y a las implicacioes filosficas de estos con ms detalle. Especialmente, en Introduccin a la lgica y al anlisis formal . Las pginas dedicadas a Gdel en Lgica elemental , el ensayo que su hija Vera Sacristn edit en Vicens Vices diez aos despus de su fallecimiento, pueden verse en la ltima seccin del volumen, Esquema de historia de la lgica, pginas 340-345.

De estos dos libros, y de algunos materiales complementarios he entresacado algunas de sus consideraciones ms centrales.

Una sntesis del teorema de incompletud era presentada por Sacristn en los siguientes terminus:

Como resultado de los trabajos de Gdel (1933), queda, por otra parte, destruida la idea -o esperanza- de que el concepto de verdad en una teora formalizada pueda ser siempre definido por medios estrictamente sintcticos, esto es, algortmicos, calculsticos, sin consideracin del campo significativo a que se refiere la teora formalizada. El teorema de Gdel ensea, en efecto, que, dada una formulacin lgica de la aritmtica (que sea lo suficientemente rica como para formular en ella los axiomas de Peano, por ejemplo), hay siempre al menos una proposicin aritmtica verdadera que no es deducible en la formalizacin.

Igualmente: [] La argumentacin de Gdel demuestra que ya la parte de la lgica de predicados necesaria para formular la aritmtica es incompleta, en el sentido de que existe al menos una frmula de la teora aritmtica formulable en ella la cual es verdadera (cosa que se establece por un razonamiento metalgico, metaaritmtico) y que, sin embargo, no puede ser demostrada en la formulacin de la aritmtica misma en la lgica de predicados.

Con algo ms de detalle, usando un mayor nmero de conceptos definidos y acuados con precision en el mbito de la lgica formal:

[] La principal aportacin a la lgica terica del matemtico y lgico austriaco Kurt Gdel (nacido en 1906. ber formal unentscheidbare Stze aus Principia Mathematica und verwandter Systeme [Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines] 1931; The consistency of the Axiom of Choice and the generalized Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set Theory ^[La consistencia del axioma de eleccin y la hiptesis generalizada del continuo con los axiomas de la teora de conjuntos] 1940) es el teorema de incompletud que lleva su nombre. De este teorema se desprende otro, tambin de gran importancia lgica: el teorema que sienta la imposibilidad de formalizar la demostracin de la consistencia de la lgica de predicados de orden superior con medios deductivos que no rebasen la potencia del algoritmo examinado en cada caso. Este teorema significa la imposibilidad de realizar al pie de la letra el programa de Hilbert. Otros importantes trabajos de Gdel que no se consideran aqu son su demostracin de la completud del clculo de predicados de primer orden y sus teoras matemticas.

El clebre teorema de incompletud de Gdel se basa en una laboriosa demostracin que consiste en construir un enunciado muy peculiar, perteneciente a la lgica de predicados de orden superior y, concretamente, a la parte de la misma que bastara para formalizar la aritmtica. Metalingsticamente demuestra Gdel: 1 que ese enunciado es verdadero, porque su interpretacin o significacin metalingstica es verdadera; 2 que no es demostrable en el clculo (o sea, que no es un teorema del clculo). Esto establece la incompletud del clculo de predicados de orden superior, y de la aritmtica en particular...

La demostracin de Gdel parte del presupuesto de que el clculo de predicados es consistente. Si no se presupone eso, no tiene sentido discutir acerca de la completud del clculo, porque un clculo inconsistente lo demuestra todo, tanto lo verdadero cuanto lo falso. Es, por as decirlo, hipercompleto.

Luego Gdel construye una frmula aritmtica (1*), indemostrable en el clculo. esta frmula es del clculo, y por tanto, en s misma no significa nada. Pero su interpretacin en el metalenguaje del clculo dice as:

(1) La frmula (1*) es indemostrable en el clculo.

La frmula (1*) es la construccin simblica cuyo nombre metalingstico es (1)... Gdel demuestra formalmente que (1*) es indemostrable en el clculo. Su demostracin puede evocarse intuitivamente as: si (1*) fuera demostrable en el clculo, entonces sera verdadera su significacin, (1). Pero la afirmacin `(1*) es demostrable en el clculo forma con (1) una contradiccin. Por tanto, bajo el supuesto bsico de que el clculo es consistente (y consiguientemente de que es adecuada su interpretacin metalingstica), (1*) no puede ser demostrada en el clculo. Si a pesar de ello (1*) es una frmula verdadera, quedar demostrado que la formalizacin de la aritmtica en el clculo de predicados es incompleta...

Representaba el teorema gdeliano un fracaso de la lgica, un extravo de la razn humana, una prueba de la debilidad de nuestra racionalidad? Todo lo contrario:

[] El teorema de incompletud de Gdel ensea por de pronto que toda formalizacin de la aritmtica en el clculo de predicados es incompleta . Como el clculo de predicados, sin limitacin de orden, es el algoritmo lgico ms potente, puede decirse, de un modo ms general, que toda formalizacin de la aritmtica es incompleta.

Pero el intento de formalizacin de la aritmtica se realiza con medios puramente lgicos. Vimos ya que desde la teora de conjuntos de Cantor, y luego por obra de Frege y Russell y Whitehead, el concepto de nmero natural se construye con la idea lgica de clase o conjunto...; tambin veremos que puede construirse tambin con ayuda de la idea puramente lgica de relacin... Consiguientemente, la incompletud de la formalizacin de la aritmtica es una incompletud del instrumento formalizador mismo, o sea, del algoritmo lgico. De aqu que el resultado de Gdel pueda entenderse tambin as: el clculo de predicados es incompleto (Todos estos resultados se entienden con la condicin de nuestro punto de partida, a saber, que el clculo de predicados es consistente).

La lgica de predicados sin limitacin de orden es aquella en la cual se intenta (sin xito) formalizar la deduccin para cualquier tipo de conocimiento que sea al menos de la complejidad de la aritmtica. Y por debajo de la complejidad de la aritmtica debe haber, puede pensarse, muy poco conocimiento terico de inters. De aqu que, an ms laxamente, el teorema de Gdel haya podido entenderse tambin en el siguiente sentido filosfico: la lgica es incapaz de formalizar la deduccin necesaria para fundamentar cualquier conocimiento de algn inters terico.

Por este camino de interpretacin cada vez ms laxa y vaga del teorema de incompletud, prosegua Sacristn, algunos filsofos, Ortega entre ellos, haban llegado a afirmar que el resultado obtenido demostraba el fracaso de la lgica, incluso el fracaso de la razn. Estas afirmaciones carecan de fundamento, apuntaba Sacristn, como poda verse por las siguientes consideraciones.

[] En primer lugar, lo nico que demuestra el teorema de Gdel es que resulta imposible conseguir un conjunto de axiomas y un juego de reglas de transformacin que suministren todas las verdades formales expresables en el lenguaje de la lgica de predicados...

En segundo lugar, el hecho de que la lgica misma haya descubierto y demostrado los lmites o la inviabilidad de una realizacin universal del programa algortmico en su forma clsica, es ms bien un xito que un fracaso de la actividad capaz de tal resultado...

En tercer lugar, debe observarse que la incompletud de un clculo lgico tomado en toda su dimensin no excluye la completud de clculos parciales contenidos por l...

En cuarto lugar, por lo que hace a la aritmtica misma, debe observarse que los enunciados cuya indemostrabilidad establece la argumentacin de Gdel no son del mismo estilo, por as decirlo, que los teoremas clsicos de la aritmtica, los cuales se refieren a operaciones con nmeros y son los realmente utilizados en la aplicacin a otras ciencias o a la tcnica... Para estos teoremas de tipo clsico -o sea, para toda la parte til de la aritmtica (y de las disciplinas matemticas basadas en ella, sealadamente el lgebra clsica y el clculo infinitesimal)- se han construido clculos (sistemas) que dan de s todos los teoremas interesantes.

Por ltimo, tambin puede conseguirse una cierta completud del clculo de predicados en general aunque pagando por ella el precio de una cierta ambigedad semntica del clculo, pues el sistema permite entonces interpretaciones no primariamente deseadas. Este ltimo punto, establecido por L. Henkin (1947, 1950), no va a interesarnos aqu, pero debe tenerse en cuenta cuando se considera la significacin del teorema de Gdel para la teora de la ciencia.

De hecho, en su memoria para las oposiciones a la ctedra de lgica de Valencia de 1962 Sacristn hablaba del mayor xito algormitco de la historia de la lgica:

[.,..] No hay duda de que ciertos lenguajes artificiales posibilitan la mecanizacin de la inferencia deductiva -ms concretamente, la han posibilitado en la lgica simblica contempornea-, pero, y esto es decisivo, slo dentro de ciertos lmites (bastante modestos) que la misma investigacin lgica contempornea ha fijado formalmente: los teoremas de Gdel y Church son en efecto, al mismo tiempo que la culminacin del mayor xito algortmico de la lgica, la destruccin definitiva del ideal algortmico de la lgica, la destruccin definitiva del ideal logicista leibniziano: hoy es un teorema de la lgica (el de Gdel sobre la indecibilidad del clculo de predicados en particular) -no slo una fundada opinin del sentido comn y de la conciencia filosfica- que la aspiracin de resolver la metafsica y la filosofa en general en un algoritmo es irrealizable.

En cuanto a si el teorema de incompletud de Gdel anulaba el programa de fundamentacin formalista de la matemtica de Hilbert, Sacristn sealaba con tacto:

[] En cuanto a si anula o no el programa formalista, el de Hilbert, las opiniones de los mayores especialistas estn divididas. El propio Gdel pensaba que no, y en esta opinin le sigue A. Church. En cambio, J. von Neumann se ha expresado al respecto de esta categrica manera. Mi opinin personal, compartida con muchos otros, es que Gdel ha demostrado que el programa de Hilbert es intrnsecamente irrealizable.

Probablemente todo el mundo podra admitir una variante de esa afirmacin de Von Neumann, a saber, que Gdel ha mostrado que el programa de Hilbert, tomado al pie de la letra en cuanto a su finitismo, es irrealizable.

La irrealizabilidad del programa estricto de Hilbert -la demostracin de la consistencia de un clculo con mtodos que no rebasen la potencia de la de los suyos- se desprende, en efecto, del teorema de incompletud de Gdel. Este teorema puede formularse intuitivamente as:

(2) si la aritmtica es consistente, entonces es incompleta

Se entiende que se trata de la aritmtica formalizada en el clculo de predicados y, por tanto, tambin de ste. Pero se conservar en esta reflexin el contexto matemtico (aritmtico), propio del planteamiento de Gdel. (2) puede escribirse:

(3) la aritmtica es consistente -> la aritmtica no es completa

Que la aritmtica no es completa quiere decir que hay al menos una frmula de la aritmtica que es verdadera y, sin embargo, no es demostrable con los medios deductivos de la aritmtica formalizada. Se conoce una tal frmula, es la frmula (1*) del anterior comentario. (1*), como se recordar es la frmula del clculo que corresponde o representa la afirmacin metalgica 'la frmula (verdadera) (1*) es indemostrable en el clculo'. Por tanto, (1*) misma puede servir como representacin en el clculo del hecho de que ste es incompleto. De aqu que, en este contexto intuitivo, pueda expresarse (3) de la forma

(4) la aritmtica es consistente -> (1*).

Esta sera una versin (intuitiva) del teorema de Gdel, que es un enunciado verdadero. Ahora bien: como (1*) no es demostrable en el clculo, tampoco puede serlo el antecedente del condicional (4), porque de serlo lo sera tambin (1*) por modus ponens. Luego el antecedente, la afirmacin de la consistencia del clculo, no es demostrable en el clculo, o sea, con medios deductivos de la potencia de los del clculo.

Sacristn conclua despus de su exposicin que estaba claro que el teorema destrua el programa de Hilbert tomado al pie de la letra, pero, en cambio, no mostrana la esterilidad de ninguna de las ideas bsicas del formalismo hilbertiano:

[] 1. Que interesa reducir los sistemas tericos a clculos. El teorema de Gdel no muestra que esto no sea posible para los sistemas matemticos en sentido estricto", como deca Hilbert. 2 Que conviene tratar en un metalenguaje -lo ms formalizado posible, pero lenguaje, no mero clculo- las propiedades de los clculos. Es verdad que, a tenor del teorema de incompletud de Gdel, este tratamiento no ser siempre tan concluyente como esperaba Hilbert con su finitismo. Pero eso es todo. La idea misma sigue siendo plausible. Y fecunda, como ha mostrado el ulterior desarrollo de la lgica.

Un comentario de Sacristn sobre la enseanza de los teoremas de Gdel apuntaba en la siguiente direccin:

[] La enseanza del mtodo axiomtico y de la teora de los sistemas axiomticos completa la cultura sintctica elemental de un estudiante de lgica, y da adems las bases tcnicas para el estudio de las cuestiones metalgicas fundamentales. Dejamos ya dicho que consideramos los teoremas de Gdel como una iniciacin normal de una seria enseanza elemental de la lgica. En la exposicin y demostracin de los mismos entendemos que es conveniente subrayar la naturaleza semntica del contexto al que pertenecen.

El paso que Sacristn dedic al teorema en las clases de metodologa de 1981-1982 fue el siguiente:

[] El ao 33, otro matemtico muy influyente de este siglo, tambin de los que ms, (Kurt Gdel) demostr que eso es imposible, demostr la imposibilidad de construir un sistema formal, axiomtico, sin problemas lgicos, que fuera a la vez consistente y completo y fuera capaz de formalizar la aritmtica, considerada como la fundamento de todo.

Esto lo que determinaba, a primera vista, luego se ha discutido mucho (yo me voy a detener ah, porque no quera ms que ejemplificar lo que quiere decir crisis de fundamentos, pero luego ha habido mucha historia, no creis que eso se ha acabado aqu. Todava ahora en las revistas de lgica y de filosofa de la lgica se disputa sobre el asunto. Yo lo voy a dejar ahora, no porque se haya zanjado, sino porque no nos interesa ms), al demostrar Gdel que el programa de Hilbert, ste de formalizacin perfecta de la aritmtica, era irrealizable pona, por as decirlo, la guinda en el asunto de la crisis de fundamentos. Era la demostracin, al menos as se dira en los aos treinta, de que el formalismo no conseguira nunca fundamentarse a s mismo.

Esto es lo que quiere decir crisis de fundamentos. Como veris investigaciones que, en realidad, ms bien honran la capacidad cientfica, de modo que es casi curioso llamarla crisis porque son grandes investigaciones, de gran calidad, de gran penetracin. En cierto sentido ms bien son enormes xitos de la capacidad cientfica terica. Una demostracin como la de Gdel, demostrar formalmente que ningn formalismo que recoja la aritmtica es completo si es consistente, eso verdaderamente es una hazaa, una hazaa formal de primera magnitud, como lo prueba el que cincuenta aos despus las revistas siguen discutiendo qu quiere decir el teorema, y cunto vale y cunto no vale. Por tanto, en cierto sentido, llamar a eso crisis resulta ridculo. Ahora supongo que estar claro en qu sentido se entiende que es una crisis de fundamentos. En el sentido de que es la revelacin de que no hay fundamentacin absoluta.

Pues eso ha sido realmente, a la vez, el punto decisivo de constitucin de la filosofa de la ciencia del siglo XX y, tambin, ya uno de sus primeros resultados. Prcticamente, resultados como el teorema de Gdel, eliminaban todava ms las viejas ambiciones de la filosofa de la ciencia en su formulacin kantiana. Tal vez recordis que cuando habl de Kant como precedente de la filosofa de la ciencia nuestra, me refer a su programa como algo muy ambicioso. Lo que Kant ha querido ha sido precisar las condiciones del conocimiento en general. Una cosa, verdaderamente, muy ambiciosa. Su pregunta es: cmo es posible conocimiento?. Mientras que despus de resultados como el teorema de Gdel ya ni siquiera es la pregunta de la filosofa de la ciencia cmo se fundamenta el conocimiento, que eso ya se abandona como imposible, ni siquiera eso.

Salieron entonces formulaciones, varias formulaciones ms restringidas, de la tarea de la filosofa de la ciencia, la ms influyente de las cuales, desde los aos cuarenta, es decir, a los diez aos del teorema de Gdel, aproximadamente, hasta por lo menos el aos 62 (me parezco ridculo a m mismo jugando tanto con fechas, sta es la verdad, pero, por otra parte, supongo que sirve para encuadrar los hechos). El ao 62 es la fecha de aparicin de La estructura de las revoluciones cientficas de Kuhn que es un libro que ha infludo mucho en los economistas, que conste. Ahora ya mucho menos, pero en los aos sesenta y setenta influy mucho en teora econmica.

Sus observaciones sobre el excelente libro de divulgacin lgica de Nagel y Newman sobre el teorema de Gdel puede cerrar esta aproximacin.

Anexo: El teorema de inompletud de Gdel en la presentacin de Nagel y Newman. Anotaciones de Sacristn.

Las siguientes observaciones son anotaciones de Sacristn, de una de las carpetas de resmenes depositadas en Reserva de la BC de la UB, sobre el ensayo de Ernest Nagel y James R. Newman, El teorema de Gdel .

Sacristn cita por la edicin italiana (La prova di Gdel) de 1961.

1. Introduccin.

Generalidades sistemticas e histricas sobre el mtodo axiomtico.

2. El problema de la consistencia [Il problema della compatibilit].

a) Se hizo de la geometra eucldea modelo de la de Riemann. Pero esto slo desplaza el problema (pp. 23-24).

b) Y la eucldea? .Recusacin del criterio de evidencia. .Criterio de experiencia, pero insuficiencia lgica de la induccin (pp.25-26). .El resultado de Gdel, sin embargo, mostrar que ste es el nico.

c) Hilbert y la algebrizacin (modelo algebraico de la geometra): misma cuestin: es desplazar el problema (p. 27).

d) Apndice: repeticin de que no se puede recurrir a las nociones evidentes, claras y distintas. La nocin de clase y la paradoja de Russell.

3. Pruebas absolutas de consistencia.

a) Para evitar las pruebas relativas.

b) Hilbert y la formalizacin completa. Clculos.

c) El ejemplo del ajedrez y el meta-ajedrez (p. 39).

4. La codificacin sistemtica de la lgica formal.

5. Un ejemplo de prueba absoluta de consistencia vlida.

I. Consistencia: a) Formalizacin clculo proposicional; b) Demostracin de su consistencia. 1. Reduccin del problema a la demostracin de que hay un q no deducible. 2. Mtodo: decir queda de propiedad comn a los axiomas, hereditaria segn las reglas y que no posee q. 3. Es la propiedad tautolgica. 4. Demostracin de que el sistema es tautolgico. 4. Reformulacin sin V y F, con las clases K 1 y K 2 . Discusin del alcance filosfico de la semntica. 5. q = p v q, por ejemplo, que no es tautolgica.

II. Completud. Nocin intuitiva y formulacin del problema de Gdel.

6. La idea de representacin y su empleo en las matemticas.

a) Lo establecido por Gdel, formulado as (p. 66).

b) Cmo lo estableci: el ejemplo de la paradoja de Richard y su deficiencia.

c) Naturaleza de la demostracin de Gdel. Observacin: Son dos pjaros de un tiro.

7. La prueba de Gdel.

a) La numeracin de Gdel: exposicin de la aritmetizacin del clculo formal (o sea, de la aritmtica formalizada).

b) La aritmetizacin de la metamatemtica (pp.81-82).

c) El ncleo de la argumentacin de Gdel:

1. Secuencia de los razonamientos. (1)

1. Construccin de la frmula aritmtica G que representa a la propia metamatemtica: G es indemostrable, mediante nmero de Gdel; (2)

2. Demostracin de que G es demostrable slo si lo es no G. Por tanto, si el clculo es consistente, no son demostrables en l ni G ni no-G; (3)

3. Demostracin de que G es verdadera; (4)

4. Luego los axiomas son incompletos. Generalizacin. (5) 5:1. Construccin de la frmula aritmtica que representa la proposicin metamatemtica la aritmtica es consistente. 2. Demostracin de A -> G. 3. Demostracin de que A no es demostrable. 4. Luego la consistencia de la aritmtica no puede demostrarse con argumentos representables en el clculo formal.

2. El razonamiento en detalle.

[SLA: Desarrollo formal del razonamiento que no reproduzco]

Observacin final: Todo el nervio de la demostracin, y lo que le salva de las objeciones planteadas a las paradojas de Richard y de Epimnides, se basa en que G es de verdad una frmula matemtica y no del metalenguaje, aunque represente a una proposicin del metalenguaje. Esto es posible por la aritmetizacin gdeliana de la metamatemtica. En concreto, es posible porque la proposicin metamatemtica: la frmula G es indemostrable est presentada por la frmula del clculo

(x) - Dem [x, subt (n, 13, n) ]

Y esto es en el fondo posible porque el concepto metamatemtico de demostrable es representado por la relacin entre nmeros, aritmtica Dem (x,y).

PS : En las clases de metodologa de las ciencias sociales del curso 1980-81, un alumno de quinto curso de la Facultad de Econmicas, sin formacin lgica, pregunt a Sacristn por el teorema de Gdel y su importancia y significado. Haba sabido de su existencia tras la lectura de un libro de metologa, de autora francesa por cierto, que estbamos siguiendo en clase. No pareca posible que Sacristn pudiese satisfacer mnimamente la demanda del estudiante. Cmo explicar un teorema as a una persona sin preparacin previa? Sacristn lo consigui, tard unos diez minutos. Lo especial del teorema, sin entrar en ninguna complejidad tcnica, fue explicado por l, por aquel professor inolvidable, a los estudiantes de Econmicas de la UB en aquella maana de febrero de 1981, unos diez das antes de la intentona golpista del 23 de febrero.

Notas:

[1] Luis Vega Reon, El lugar de Sacristn en los estudios de lgica en Espaa. En Salvador Lpez Arnal, Albert Domingo et al (eds), Donde no habita el olvido . Montesinos, Barcelona, 2005, pp. 19-49. Vanse igualmente las declaraciones de Luis Vega Ren para los documentales de Xavier Juncosa, Integral de Sacristn, El Viejo Topo, Barcelona, 2006.

[2] Paula Olmos y Luis Vega, La recepcin de Gdel en Espaa. ndoxa , n 17, 2003, pp. 379-415. UNED, Madrid. De Paula Olmos, vase tambin La recepcin en Espaa del teorema de Gdel: la labor de Manuel Sacristn. En Salvador Lpez Arnal, Albert Domingo et al (eds), Donde no habita el olvido , ed cit, pp. 287-303.

[3] En la nota 32 de su trabajo, seala Luis Vega: Tcnicamente, slo cabra objetar a la exposicin de Sacristn alguna confusin ocasional entre los planos sintctico y semntico (p. 38).

Rebelin ha publicado este artculo con el permiso del autor mediante una licencia de Creative Commons, respetando su libertad para publicarlo en otras fuentes.



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