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Aumentar tamaño del texto Disminuir tamaño del texto Partir el texto en columnas Ver como pdf 27-11-2012

Sobre la Matemtica

Rodolfo Bueno
Rebelin


La matemtica es el resultado del desarrollo del pensamiento abstracto de innumerables individuos de muchos pueblos y naciones. Los griegos tuvieron una elevada intuicin geomtrica y todos los clculos los realizaron desde esa perspectiva. Roma no aport un pice a esta ciencia, tal vez por lo intrincado que resulta hacer clculos con los nmeros romanos o por lo ocupado que estaban en conquistar el mundo y redactar sus leyes. La contribucin matemtica del Extremo Oriente, la India y el Asia Media ha llegado a Occidente a travs de los rabes.

Al-jebr wl-muqabela, tratado en cuyo ttulo estn las reglas fundamentales que permiten transformar las expresiones matemticas, fue escrito por el astrnomo Mahommed, hijo de musa, nativo de Kharizm, que vivi en el siglo IX; al-jebr da origen a la palabra latina lgebra y hace referencia a las reglas que permiten pasar los miembros de una igualdad de un lado a otro; en cambio, muqabela permite simplificar las expresiones algebraicas, curiosamente esta palabra se perdi en el trasfondo del tiempo; a su vez, al-kharizmi genera la palabra algoritmo, o sea la cadena ordenada de pasos que permite hallar la solucin de un problema.

Omar Khayyan, clebre cientfico de Samarkanda, defini el lgebra como la ciencia para resolver ecuaciones, desarroll los mtodos para calcular las races de algunas ecuaciones y la frmula general del binomio de Newton. En esa lejana regin se sistematiz la trigonometra, se recopilaron las tablas trigonomtricas del seno y tambin se crearon, las fracciones decimales.

La tarea de inventar una simbologa para operar con los nmeros, aunque fuera iniciada en poca de los griegos, fue completada por Tartaglia, Vieta, Descartes, Neper y otros. A partir de entonces, la ciencia europea no slo alcanz el nivel de sus predecesores sino que incluso lo sobrepas con creces. En el Renacimiento, Europa reencontr sus orgenes griegos con la ayuda de las traducciones del rabe al latn de numerosos trabajos de Euclides, Tolomeo, Arqumides, Al-kharizmi, Aristlteles, Platn y otros.

Se puede afirmar que conocer matemtica es saber contar, solo que esta habilidad no es fcil de adquirir, pues nuestra fantasa teme volar y se aferra a las cosas tangibles, aparentemente ms sencillas. Se debe recalcar que para contar no hay que tener previamente la idea de nmero sino de cantidad, as por ejemplo, al entrar a un teatro se puede saber de inmediato si hay ms asientos que personas. Para ello basta comprobar si hay asientos vacos y sobrentender que cada espectador ha ocupado un asiento.

A pesar de no conocer el nmero de asientos ni el de asistentes, la repuesta que se d sera correcta y se podra establecer con exactitud qu conjunto es ms numeroso, el de asientos o el de asistentes al espectculo. Esto sucede porque se ha realizado una de las operaciones ms importantes de la matemtica, se ha establecido una correspondencia biunvoca entre los elementos del conjunto de las sillas con la del pblico.

La idea de nmero requiere de una abstraccin mucho mayor y su grado de complejidad es minimizado por lo acostumbrado que estamos a la misma. Los nmeros arbigos, que proceden de la India, fueron introducidos por los rabes a Europa en el siglo X; tienen la ventaja de ser posicionales, esto es que cada lugar ocupado por un dgito implica cierta unidad decimal. As, el nmero 507 significa cinco centenas, ms cero decenas y ms siete unidades. Este sistema numrico es el nico que goza de esta propiedad al mismo tiempo elemental y avanzada.

El hombre logr este grado de perfeccionamiento en el pensamiento abstracto luego un largo deambular por la esfera del conocimiento intuitivo. Se debe notar que cuando se dijo cero decenas, este concepto no le rompe la cabeza a nadie; sin embargo, el nmero cero es una idea bastante avanzada porque representa la ausencia de toda cantidad; tal vez por eso en Occidente slo fue introducido en el medievo. As, por ejemplo, uno puede decir que tiene cero dromedarios, ballenas, lunas y soles en el bolsillo derecho, y esto es cierto con respecto a cualquier cosa de la que se carezca.

Otra idea intuitiva, firmemente arraigada en cada uno de nosotros, es que se puede contar sin lmite. Se piensa as pese a que nunca se lo ha hecho, pues nadie se va a dedicar nicamente a esta tarea, muy aburrida por cierto; adems, en el transcurso de su vida no lograra contar ni diez mil millones.

Tambin cuando se cuenta se nota que la ley con que se forman nmeros cada vez ms grandes es bastante simple, basta con aadir una unidad al ltimo nmero contado para obtener uno mayor; tambin se nota que este procedimiento no tiene fin. As, sin habrselo propuesto, se tiende un puente imperceptible entre lo finito y lo infinito, esto es, se llega intuitivamente a la idea de infinito. Sin embargo se supone que a esta abstraccin le debe corresponder algo real, y esto no es as, en la naturaleza no hay ningn conjunto, por grande grande que sea, cuyo nmero de elementos sea infinito.

Cuentan que alguna vez le preguntaron a un nio cul era el nmero ms grande que l se poda imaginar, y l haba respondido que es el nmero de gotas de agua que caen sobre la ciudad de New York durante una tormenta. Le hicieron notar que mucho mayor es el nmero de gotas de agua que caen sobre los Estados Unidos o sobre el mundo entero. l estuvo de acuerdo y sostuvo que ese sera el mayor nmero que podra existir, dijo que ese nmero era tan grande como un uno seguido de cien ceros, y le puso el nombre de google . Lo cierto del caso es que es un nmero muy grande, mucho mayor que el de tomos que hay en el universo, que a duras penas es igual a un uno seguido de ochenta ceros; sin embargo, por grande que sea, es mucho menos que infinito. No existe ningn nmero, por grande que sea, que se semeje al infinito.

Todo conjunto posee una cardinalidad que tiene que ver con el nmero de sus elementos. Si se establece una relacin biunvoca entre los elementos de un conjunto cualquiera con los del conjunto de los nmeros enteros, igual a lo que se hizo con los asientos de un teatro y los asistentes a un espectculo, se llama cardinalidad el ltimo entero que se pone en correspondencia con los elementos del conjunto que se cuenta; se dice entonces que la cardinalidad de este conjunto es finita.

Si la cardinalidad del conjunto contado es la misma que la del conjunto de los nmeros enteros, o sea si a cada elemento del conjunto contado le corresponde sucesivamente un entero y viceversa, se dice que la cardinalidad del conjunto contado es infinita numerable.

Si en el conjunto contado quedan todava elementos a los que no se le ha asignado un nmero entero, porque los enteros se han terminado y ya no hay cmo seguir contando, se dice que la cardinalidad de dicho conjunto es infinita innumerable.

Algo curioso se produce en todo conjunto cuya cardinalidad es infinita. En l se cumple una de las conocidas leyes del Kybalion: Si bien es cierto que todo est en el TODO, no lo es menos que TODO est en todas las cosas. El que comprenda esto debidamente, ha adquirido gran conocimiento .

Aunque para cualquiera es claro que el conjunto de los mltiplos de google , esto es la unidad seguida de cien ceros , es parte de los enteros. Se puede establecer una relacin biunvoca entre ambos conjuntos, o sea que cada entero n puede ser puesto en correspondencia con el entero ngoogol y viceversa. Puesto que la regla para establecer esta equivalencia es clara, se puede afirmar que hay tantos enteros como mltiplos de google . Asombroso pero cierto. En este caso y otros ms, el todo no es mayor que una aparentemente nfima de sus partes, ni esta pequea parte suya es menor que el todo, y la cardinalidad de ambos conjuntos, por asombroso que parezca, es la misma.

Se dijo asombroso , porque el nmero de tomos que hay en el universo es menor a un uno seguido de ochenta ceros y se debera tener tantos universos, igual a la cantidad de granos de arenas que existen en todas las playas del mundo, para que el nmero de tomos que habra en todos esos universos fuese igual a un google ; sin embargo, hay tantos mltiplos de google como enteros. Repitamos: Increble pero cierto!

Se llama racional cualquier nmero que puede ser expresado como una fraccin cuyo denominador es distinto de cero. En la poca de los griegos se crea que todo nmero era racional, o sea que poda ser escrito como una fraccin. Pero fueron los mismos griegos los ms sorprendidos cuando luego de demostrar el teorema de Pitgoras encontraron que existen nmeros como la raz de dos ( ), por ejemplo, que no gozan de esta propiedad. Llamaron a estos nmeros irracionales, pues supusieron que eran una rareza matemtica y sacrificaron una buena cantidad de bueyes en honor a este tan inslito descubrimiento.

Dos mil y pico de aos despus, el monje Georg Cantor, clebre matemtico nacido en San Petersburgo, de quien se dice que sus descubrimientos lo enloquecieron, demostr que el conjunto de los irracionales tiene una cardinalidad infinitamente mayor que la de los racionales, en otras palabras, que en comparacin con los racionales, los irracionales son los nmeros ms abundantes y no la rareza difcil de hallar, que creyeron los griegos.

Para terminar, la matemtica comprueba mediante una demostracin, que no se va a hacer en este artculo, que todo idioma es de por s contradictorio, o sea que no se puede hablar sin correr el riesgo de caer en entredicho, pues as estn estructurados los idiomas. Por lo tanto, si se expresa algo que uno piensa no se est exento de caer en la ms flagrante contradiccin.

Esta afirmacin era conocida por los griegos, que plantearon el siguiente problema: El barbero de Creta tiene por ley la obligacin de hacer la barba a todo aquel que no se afeite. Se pregunta: El barbero de Creta se afeita a s mismo o no? Si no lo hace, rompe la ley, pues no afeita a alguien que no se afeita, y si se afeita, tambin rompe la ley, pues afeita a alguien que si se afeita y slo debe afeitar a aquellos que no se afeiten. Interesante, no?

Rebelin ha publicado este artculo con el permiso del autor mediante una licencia de Creative Commons, respetando su libertad para publicarlo en otras fuentes.



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