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Aumentar tamaño del texto Disminuir tamaño del texto Partir el texto en columnas Ver como pdf 03-09-2013

Entrevista con el joven matemtico Javier Fresn
"Las metforas estn condenadas a desvirtuar teoras cuya comprensin requiere aos de aprendizaje"

Samuel Sacristn
Jot Down


Javier Fresn (Pamplona, 1987) es un joven matemtico, inquieto, sagaz. Ha publicado varios libros de divulgacin y recibido premios y distinciones que no vamos a enumerar aqu; l tampoco le da mayor importancia. De trato fcil y cercano, se muestra presto y generoso con la curiosidad de la gente, dispuesto siempre a hablar de matemticas y de lo que no son matemticas. Nos contar, entre otras, por qu es ms sencillo resolver un problema matemtico que amoroso o qu es lgica matemtica y qu no lo es, si acaso podemos llegar a saberlo todo o por qu se ha dicho que una mquina no puede alcanzar al hombre. Desmenuzando mitos y dimes y diretes relacionados con la ciencia y sus alrededores se nos pas la maana volando, como debe ser. Y ahora vamos a contrselo.

Leibniz anticip la aritmtica binaria en 1679 en un ensayo pstumo titulado Demostracin matemtica de la creacin y ordenacin del mundo. El lema de la cubierta rezaba Omnibus ex nihilo ducendis sufficit unum (para generar el todo de la nada basta el uno). Cunto hay de matemtico en esta frase y cunto de metafsico?

Lo que hay de metafsico es la forma de enunciarlo; un matemtico actual nunca lo planteara en esos trminos. Es curioso, porque los matemticos del siglo XVIII utilizaban la palabra metafsica para referirse a una serie de ideas y analogas vagas que, a pesar de su formulacin imprecisa, representaban un papel importante en sus investigaciones: eran su gua. Por ejemplo, leyendo sus obras podemos encontrarnos con una expresin como la metafsica del clculo infinitesimal. Lo explica Andr Weil en una nota de un par de pginas, que se titula precisamente De la metafsica a las matemticas. La frase de Leibniz podra ser metafsica en este sentido. Convertirla en matemticas es una tarea delicada; de hecho, si no supiera que habla de la aritmtica binaria, mi primer reflejo habra sido interpretarla como una construccin, muy avant la lettre, de los nmeros naturales a partir del cero, que es el cardinal del conjunto vaco. Leibniz dise un medalln con ese lema, que hace unos aos se transform en otro en homenaje a Gregory Chaitin y su constante Ω.

Te voy a contar algo sobre Leibniz que a m me gusta mucho, tena una idea que nunca pudo llevar a cabo: la de crear una lengua universal. Uno de los milagros de las lenguas habra que decir del cerebro es que, a partir de unos materiales relativamente pobres, seguimos produciendo combinaciones nuevas despus de que millones de hablantes hayan usando las mismas palabras durante siglos. Quin no ha tenido esa sensacin al leer a un gran poeta? Aun as, Leibniz soaba con un catlogo de ideas bsicas que permitiera producir todas las dems. La idea de lago, por simplificar mucho, podra ser un compuesto de agua y de quietud, que formaran parte del catlogo. Lo que me ms interesa es que el sueo de Leibniz sirvi probablemente de inspiracin a Gdel para lo que hoy se conoce como gdelizacin, un modo de codificar los enunciados de la aritmtica. Gdel haba estudiado con fervor a Leibniz en sus aos de formacin, pero es una hiptesis difcil de demostrar.

Si llamamos autolgico a un adjetivo que se aplica a s mismo (por ejemplo corto, que es corto) y heterolgico a un adjetivo que no se aplica as mismo (por ejemplo largo, que es corto), de cul de los dos tipos sera el adjetivo heterolgico?

(risas) Quieres que caiga en la paradoja de Russell! Fjate qu historia: principios del siglo XX, Bertrand Russell est en su casa tranquilamente estudiando la obra de Frege y encuentra una paradoja de una simplicidad incontestable que da al traste con todo el proyecto de reducir las matemticas a la lgica: es lo que l llama el final de las maanas alegres y felices. Lo cuenta Russell en su biografa: se pas semanas, meses, sentado frente a un papel en blanco intentando resolver el problema. Cuando al fin se decide a escribir a Frege, el lgico alemn est corrigiendo las pruebas del segundo volumen de Los principios de la aritmtica. En lugar de derrumbarse o de odiar a Russell, reconoce el error con la honestidad intelectual que debera caracterizar a cualquier cientfico. Y aade una nota a pie de pgina explicndolo. Su historia an tiene mucho que ensearnos. A menudo se ve en las paradojas el desencadenante directo de una crisis de fundamentos, pero la realidad suele ser ms compleja: muchas veces las paradojas surgen porque alguien ya est removiendo los fundamentos. Gracias a la paradoja de Russell, se comprendi que no se poda basar una teora rigurosa de conjuntos en la definicin intuitiva de conjunto como una coleccin de cosas. Si as fuera, se podra construir el conjunto de todas las cosas que verifican una cierta propiedad y, cuando esa propiedad es no ser miembros de s mismos, surge una contradiccin (otra respuesta consistir en decir que ser miembros de s mismos no es una propiedad bien definida, porque solo se puede aplicar la pertenencia a elementos de distinto tipo). Me pregunto qu conceptos hoy en da estn en la misma situacin que los conjuntos a principios del siglo XX.

El fenmeno de la paradoja no solo es fascinante en las matemticas; en el mbito comunicativo es el fundamento de las patologas psquicas ms graves. La racionalidad del pensamiento impone un lmite al concepto que una persona puede tener de su relacin con el cosmos?

No me veo capacitado para responder a esta pregunta. Solo puedo decirte que la experiencia nos ensea que quienes no ponen lmites viven en la irracionalidad ms absoluta. El da a da de un matemtico despierta mucha curiosidad. Una pregunta tpica de sobremesa es si es ms fcil resolver un problema de matemticas o un problema de la vida, por ejemplo, una relacin amorosa complicada. No hay duda! Los problemas matemticos sabrs resolverlos o no, pero al menos estn bien formulados. Darse cuenta de que hay cuestiones que escapan a este tipo de formulacin forma parte de esos lmites

Gregory Bateson deca que la lgica ordinaria no encaja con el ser humano porque para las personas estar en contradiccin es una regla, no una excepcin. Existen otros tipos de lgica que puedan explicar los procesos cognitivos que no son puramente racionales?

Me gusta la cita. A menudo, de forma coloquial, utilizamos la palabra lgica como sinnimo de sentido comn, por ejemplo, cuando decimos que alguien actu con lgica. Eso no tiene nada que ver con la lgica matemtica, que se ocupa ms por llevar las cosas a un extremo de cmo piensa una mquina que de cmo piensa un ser humano; esa lnea de pensamiento dio lugar precisamente a las mquinas de Turing. Un obstculo fundamental para explicar los procesos cognitivos es que esta lgica clsica admite solo dos valores de verdad: verdadero o falso. Y eso es muy restringido, sobre todo cuando se trata de tomar decisiones. En 1917 Łukasiewicz propuso una lgica trivaluada, en la que un enunciado puede ser verdadero, falso o posible. Ese primer paso se radicaliz ms tarde con la lgica borrosa, en la que los valores de verdad posibles son los nmeros reales entre 0 y 1. Hace pensar en la probabilidad, pero es muy distinta: cuando tiras una moneda al aire, el resultado no deja de ser cara o cruz, aunque no podamos predecirlo; en la lgica borrosa, sin embargo, hay que imaginar monedas que caen 25% cara y 75% cruz, por decir algo. Esta idea ha tenido aplicaciones sorprendentes: hay, por ejemplo, lavadoras borrosas que deciden la duracin del lavado o cunto detergente hace falta en funcin de un valor de suciedad. De hecho, la publicidad de una de esas lavadoras nos prevena de que la era borrosa haba llegado. Hay todava propuestas ms radicales, como la lgica cuntica, pero eso nos llevara demasiado lejos

Adems de escribir libros has colaborado con varios medios de comunicacin como El Pas, Pblico o la revista de literatura Clarn. Sientes la crisis del periodismo desde donde escribes?

No puedo no sentirla, porque fui testigo directo del hundimiento de Pblico. No entremos en la penosa historia de un seor que juega a ser dueo de un peridico de izquierdas y un da despide a todos sus empleados porque no puede pagarles y al da siguiente compra el peridico que l mismo ha vendido, pero esta vez sin periodistas. Yo desde luego no he vuelto a visitar la edicin digital desde entonces. Quedmonos con lo bueno: era la mejor seccin de ciencias que ha tenido un peridico en espaol en los ltimos aos. Yo aprend mucho de esas colaboraciones. Sobre todo de mis rifirrafes -siempre cariosos- con la jefa, Patricia Fernndez de Lis, a propsito de si un tema tena percha o no, o de si mis artculos sobre los nmeros primos eran ms difciles de leer que los que hablaban de aceleradores de partculas; le estoy muy agradecido. Y era un placer ir al quiosco y encontrarse con artculos de Lucas Snchez o de Jos Mara Mateos, que tantas cosas me han enseado. No s qu paso: nunca se recuperaron de aquella gran apuesta publicitaria de los 50 cntimos? Por suerte, la web Materia est llenando ese vaco.

Te atreves a decir hacia dnde se dirige la prensa escrita con los nuevos cambios de paradigma?

No. Si lo supiera ya estara haciendo la prensa del futuro! (risas)

Cuando entrevistaste a Pierre Cartier para Pblico, l reconoci que le gustaba ser un matemtico sin fronteras para contribuir a la paz o para ayudar a los matemticos que luchan contra los regmenes dictatoriales. Cmo puede la ciencia, en este caso las matemticas, ayudar polticamente a un pas?

Esa es una muy buena pregunta. Pierre Cartier es un personaje fascinante, al que tengo la suerte de tratar a menudo. La cita procede de una conferencia que dio en la Residencia de Estudiantes de Madrid, y que yo he traducido al espaol: son las memorias de un matemtico comprometido. Tienes que pensar que el cientfico ya no es ese genio solitario que, tras meses de aislamiento en su laboratorio, da al mundo una obra magnfica. El contacto con otros colegas es continuo, ya sea a travs de congresos o simplemente del correo electrnico, y eso crea unas redes muy potentes. La idea de Cartier es que se pueden utilizar esas redes para ayudar a pases menos desarrollados o que viven bajo dictaduras, por ejemplo ofreciendo a los estudiantes la posibilidad de hacer el doctorado en Europa. Es una pequea ayuda, pero cambiar una vida ya es mucho.

Otro aspecto interesante de la cuestin es la impenetrabilidad del trabajo matemtico. Un da de enero de 1936, Shostakovich descubre, al leer Pravda, que ha cado en desgracia: su msica es intelectualista y el hermetismo es un juego que podra terminar mal; parece que el artculo lo escribi el propio Stalin. Es difcil que eso le ocurra a un matemtico, aunque haya matemticas ms intelectualistas que otras. No es una casualidad que, en la antigua URSS, muchas personas, que en otras circunstancias se habran dedicado a la literatura o la filosofa, encontraran un refugio en las matemticas. Es imposible que un rgimen ataque a un matemtico sin la colaboracin de otros matemticos: si permanecen unidos, son invencibles. Lo cual tampoco es un gran consuelo porque, como en cualquier otra profesin, siempre habr diez personas dispuestas a denunciarte

El caso contrario fue el de Andr Weil? 

De esa historia no sabemos mucho ms que lo que l mismo nos cuenta en Memorias de aprendizaje, su esplndida biografa. Weil haba decidido desertar si lo llamaban a filas. Cuando estall la guerra estaba de vacaciones al borde de un lago en Finlandia, cerca de la frontera rusa, junto a su mujer, veline. Todos los das trabajaban varias horas en una barca: l en un informe para Bourbaki, ella en unas prcticas de estenotipia. No es de extraar que los dueos del hotel en el que se alojaban los tomaran por espas (algo que, por cierto, tambin le ocurri a Gdel en un pueblecito del estado de Maine). Se abri un dossier sobre Weil en la comisara de Helsinki y lo detuvieron. Siempre segn su versin, un matemtico con simpatas nazis le salv la vida y, tras toda una serie de vicisitudes, regres a Francia para cumplir condena por desercin. Nunca se lo perdonaran. Weil se vio obligado a hacer carrera en los Estados Unidos: primero en Chicago, luego en Princeton. Es muy triste leer ese captulo de su correspondencia con Henri Cartan, en el que se ve cmo, pese a los esfuerzos de su fiel amigo y colaborador, una y otra vez candidatos infinitamente menos valiosos que Weil obtienen las plazas a las que l se presenta.

Ganaste el premio Arqumedes de introduccin a la ciencia cuando cursabas la carrera, lo que te permiti hacer una estancia en el CSIC. Sin embargo, has decidido desarrollar tu carrera de investigador en Francia. Qu ventajas tiene la investigacin matemtica con respecto a Espaa?

Creo que la idea de una ciencia nacional pertenece al pasado. En un mundo como el nuestro, a qu pas pertenecen los descubrimientos? Al que los paga? Al del laboratorio en el que se realizan? Al que, por un azar completo, vio nacer a los cientficos que los realizan? Skype o arXiv tienen muchos ms derechos que cualquier pas sobre un teorema escrito en colaboracin. Yo cuando me pongo a pensar en un problema, no me siento espaol ni francs: pienso en el problema. Pero no creas que estoy esquivando la pregunta: me fui a Pars en un momento en el que me apeteca irme a Pars y pensaba que la ciudad tena cosas que ofrecerme. Despus de cinco aos, todava me sigue sorprendiendo que, en un curso sobre la Divina Comedia en el Collge de France, haya que llegar media hora antes porque, si no, te quedas sin sitio en el inmenso anfiteatro, o que cien personas hagan cola bajo la lluvia para ver la nueva copia de Il Gattopardo. Volviendo a las matemticas, hay que decir que en geometra algebraica y teora de nmeros Pars es invencible. No solo por una tradicin de ms de doscientos aos, sino porque es un aglomerado de universidades y centros de investigacin; apenas exagero si te digo que, si te apetece hablar con alguien, solo tienes que esperar un poco: antes o despus pasar por all. Y eso no es que no ocurra en Espaa, es que no ocurre en casi ningn sitio! Dentro de poco cambiar Pars por el Max Planck Institute de Bonn, y no lo hago con melancola: es una nueva aventura. La matemtica espaola ha avanzado espectacularmente en los ltimos aos: hay excelentes matemticos trabajando en reas muy variadas: ecuaciones en derivadas parciales, teora de Hodge, geometra aritmtica, sistemas dinmicos. Antonio y Diego Crdoba, Jos Ignacio Burgos, Vicente Muoz, Ricardo Prez Marco Que nadie se enfade: te digo solo los primeros nombres que me vienen a la cabeza. Me da miedo que las barbaridades polticas que estamos sufriendo frenen esa evolucin. Ya casi es imposible conseguir una beca de doctorado en Espaa. Qu va a pasar con la generacin siguiente?

Victoria Ley nos deca cuando la entrevistamos que en Espaa a los matemticos les cuesta bastante participar en programas de transferencia tecnolgica. En Francia cul es la situacin?

Pues creo que para un matemtico puro la situacin es la misma.

En El sueo de la razn comentas que Kurt Gdel aparece en varias ocasiones en la tira cmica Xkcd autodenominado un cmic web de romance, sarcasmo, matemticas e idioma. Existe una versin del Teorema de Gdel para dummies o por su naturaleza ello es imposible?

Hace un par de aos, Guillermo Martnez y Gustavo Pieiro publicaron Gdel para todos, que es uno de los mejores libros de divulgacin sobre el tema que conozco. En el prlogo mencionan un ensayo de Ernesto Sbato, en el que un fsico trata de explicar a un amigo qu es la relatividad. Empieza hablando de curvatura, tensores y geodsicas, pero se ve obligado a rebajar poco a poco el nivel del discurso para que su interlocutor entienda; al final solo quedan trenes y cronmetros. Ahora s entiendo la relatividad!, exclama, entusiasmado, el amigo. S, pero ahora ya no es la relatividad. Lo mismo ocurre con muchas otras ramas de la fsica y la matemtica moderna: solo gracias a las metforas pueden llegar al gran pblico. Y, por bellas que sean, aunque conecten reas distintas del cerebro, como deca Platn, las metforas estn condenadas a desvirtuar teoras cuya comprensin requiere aos y aos de aprendizaje. Esa es la soledad del matemtico.

El teorema de Gdel constituye una feliz excepcin a esta regla. Su contenido se puede explicar como un problema de equilibrio en los sistemas axiomticos y basta un poco de paciencia para dar una idea de las grandes lneas de la demostracin. Supongamos que queremos fundar una teora partir de una serie de principios bsicos: necesitamos saber cmo escogerlos, de modo que podamos demostrar el mayor nmero posible de enunciados. El objetivo ltimo sera demostrar todos los enunciados verdaderos para crear una teora completa. Podramos pensar que ms axiomas conllevan ms teoremas pero no nos conviene elegir demasiados porque, si lo hacemos, corremos el riesgo de demostrar una afirmacin y su negacin, y eso dara lugar a una teora llena de contradicciones; en lenguaje tcnico, decimos que no es consistente. Otra de las propiedades deseadas es la recursividad, algo ms difcil de explicar que la consistencia, pero que consiste esencialmente en ser capaces de distinguir, mediante un nmero finito de operaciones, si un enunciado cualquiera de nuestra teora es un axioma o no. As que consistencia, recursividad y completitud. El teorema de Gdel dice simplemente que es imposible tener las tres cosas a la vez: si una teora es consistente y recursiva, entonces no es completa. Es decir, siempre existirn enunciados sobre cuya validad nuestros axiomas no puedan pronunciarse. El teorema de Gdel ha sido utilizado conceptualmente por diferentes disciplinas sociales. En sus Imposturas intelectuales Sokal y Bricmont desmontan las teoras al respecto de varios intelectuales como Kristeva, Deluze o Lacan. Tiene sentido aplicar el teorema de Gdel fuera del mbito de las matemticas, en el mbito de las ciencias sociales?

A m la historia de las impostura sociales es un tema que me encanta. Es una de esas cosas que me hubiera gustado hacer a m. La historia es que el fsico Alan Sokal, cansado de ver cmo algunos popes de ciertas corrientes de las ciencias sociales utilizaban conceptos cientficos con el nico objetivo de apabullar al lector, decide escribir una parodia de ese tipo de literatura y enviarla a la revista de mayor impacto del rea. El artculo, con un ttulo tan improbable como Transgrediendo las fronteras: hacia una hermenutica transformativa de la gravedad cuntica es aceptado, y cuando, poco despus, su autor revela que se trataba de una broma, estalla un gran escndalo que llega a ser portada del New York Times. El libro Imposturas intelectuales, escrito en colaboracin con el tambin fsico Jean Bricmont, es una especie de versin ampliada, que explora sistemticamente el abuso de una serie de ideas matemticas y fsicas por parte de los filsofos que has citado.

El teorema de Gdel, tal y como es, es un enunciado que habla de las matemticas, de la aritmtica, de las teoras axiomticas, etc. Eso hace que sea prcticamente imposible aplicarlo a cualquier cosa de forma rigurosa que no sean las propias matemticas; nada realmente es axiomtico fuera de las matemticas, ni siquiera la fsica, que sera lo ms cercano. Sobre l se han dicho cosas como que explica por qu hay que momificar a Lenin y exhibirlo a los camaradas en un mausoleo. Y 15 aos despus del caso Sokal aun me encuentro con un crtico literario capaz de escribir si usamos un mtodo cientfico para medir poemas, parece ms interesante la estratigrafa que la topologa, cuyas limitaciones, incluso en el propio campo matemtico, quedaron demostradas por Gdel. Esto hay que verlo de forma positiva. Es decir, es un teorema que tiene tanto xito, es tan fuerte, lo que dice es tan interesante que gente de lo ms variopinta intenta aplicarlo. Por supuesto, es muy tentador preguntarse cules seran sus consecuencias para las realidades que nos rodean: a m mismo me divierte imaginar una novela como un pequeo mundo axiomtico, en el que siempre habr alguna informacin sobre el protagonista que ser incapaz de conocer. Llegaremos a saber algn da por qu se llama Quirke el detective de Benjamin Black? Pero s que es solo un juego.

Sin embargo, en Hasta que el lgebra nos separe narras mediante un fascinante dilogo entre Lvi-Strauss y Andr Weil cmo las matemticas pueden echar un cable a la observacin participante. De qu manera colaboraron estos dos grandes cientficos del siglo pasado?

Esta es una historia distinta, realmente apasionante. Cada uno de ellos por s solo lo es, de hecho. El mismo Andr Weil, casi fusilado en la frontera, era un tipo que haba viajado muchsimo, durante toda su vida, dominaba bastantes lenguas, lea a los clsicos hindes en snscrito y en matemticas hizo unas contribuciones increbles.

Durante su estancia en Brasil, Lvi-Strauss se dio cuenta de que todas las tribus que estudiaba prohiban de algn modo el incesto, aunque el grado de permisividad fuese muy variable. Eso le lleva a formular la hiptesis de que la prohibicin del incesto es una especie de eslabn entre la naturaleza, con sus leyes universales, y la cultura, en la que las reglas cambian de una sociedad a otra. Para respaldar su hiptesis, se lanza a un estudio exhaustivo de las relaciones de parentesco en las tribus que conoce y en otras muchas documentadas en la literatura. Hasta que se topa con los Murngin, unos aborgenes del norte de Australia, cuyas reglas de matrimonio no consigue explicar con los mtodos que haba usado hasta entonces (basados esencialmente en la enumeracin de todos los casos posibles). Decide pedir ayuda a un matemtico, pero el primero al que lo hace, Jacques Hadamard, le responde que en matemticas solo hay cuatro operaciones, y el matrimonio no es una de ellas. Fin de la colaboracin. Por suerte, Lvi-Strauss conoce a Weil en el exilio neoyorquino. Weil, un hombre de una curiosidad insaciable, que haba viajado mucho, que lo haba ledo todo; enseguida se interesa por el problema, y lo resuelve usando la teora de grupos. El resultado ser un apndice a Las estructuras elementales del parentesco, la tesis doctoral de Lvi-Strauss.

Pero date cuenta que, al contrario del uso que hacen de la matemtica Lacan y compaa, la colaboracin de Weil y Lvi-Strauss se produce en un marco en el que s que es posible crear modelos axiomticos simplificados (de ah el elemental del ttulo). Si establecemos como hiptesis, pongamos, que todos los miembros de una tribu pueden casarse y que a cada uno de ellos le corresponde un nico tipo de matrimonio que depende solo de su sexo y del tipo de matrimonio de sus padres, hemos reducido el estudio a un problema de teora de grupos. Esa fue la intuicin genial de Weil. Como l mismo explica en los comentarios a sus obras completas, el reto ms difcil al que se enfrenta un matemtico, al abordar un problema de matemtica aplicada, consiste en traducirlo a su propio lenguaje. Me pareci que una historia tan atractiva como esta era la excusa perfecta para explicar al gran pblico algunas ideas de la teora de grupos. Y como me divierte explorar nuevas formas de divulgacin, decid hacerlo mediante un dilogo entre sus protagonistas.

El estructuralismo ha matado definitivamente en matemticas al intuicionismo?

Yo creo que no. Quiero decir, el estructuralismo suele ser, salvo en raras excepciones, un proceso posterior al descubrimiento matemtico, un modo de dar forma y de adecuar a los estndares de rigor modernos el resultado de un fenmeno inexplicable en el que se mezclan la intuicin, la analoga y el anlisis de ejemplos. La propia historia de Bourbaki lo confirma: histricamente, el movimiento surge tras una serie de avances extraordinarios a finales del siglo XIX y en el primer tercio del XX (la teora de conjuntos, la topologa algebraica, los espacios de Hilbert, el lgebra moderna). Por supuesto, la diseccin minuciosa de estas teoras dio lugar a nuevas propiedades, pero, de algn modo, lo esencial ya estaba all. La gran contribucin de Bourbaki fue crear un lenguaje matemtico universal que sirviera lo mismo para la lgica que para la geometra algebraica o la probabilidad. Cada matemtico tiene su mtodo: hay quienes abordan los problemas situndose en estructuras lo ms generales posibles y quienes prefieren una solucin elemental para estar seguros de que es correcta. Pero hoy en da todos somos hijos de Bourbaki.

Existe algn mtodo para generar nmeros trascendentes cuyos decimales tengan una estructura determinada?

Sabemos que tienen que existir nmeros trascendentes porque el infinito de los nmeros reales es mayor que el de los algebraicos. Ese mismo argumento demuestra que casi todos los nmeros son trascendentes: en un sentido tcnico, la probabilidad de que un nmero elegido al azar sea algebraico es cero. Sin embargo, resulta extremadamente difcil decidir si un nmero dado es trascendente o no, y eso tiene que ver con la pregunta qu es un nmero? de la que hablbamos antes. El nmero π es trascendente, pero hubo que esperar hasta 1882 para tener una demostracin. Cuarenta aos antes, Liouville haba construido los primeros nmeros trascendentes: por ejemplo, 10-1+10-2+10-6+10-24+ es un nmero trascendente (los exponentes son los factoriales de los nmeros naturales). En general, cualquier sucesin acotada de enteros positivos da lugar a un nmero trascendente con una cierta estructura. Pero se podra decir que esos nmeros trascendente lo son por una razn tonta: admiten muy buenas aproximaciones por nmeros racionales y eso contradice un teorema del propio Liouville sobre los nmeros algebraicos. Mucho ms interesante sera demostrar que un nmero como 1+1/8+1/27+1/64+ (la suma de los inversos de los cubos de los nmeros naturales) es trascendente. Y de eso no tenemos la menor idea.

En la conferencia que diste en la UMP comentabas que el nico problema comn entre los famosos 23 que propuso Hilbert y los 7 del milenio es la demostracin de la hiptesis de Riemann, de la que Marcus du Santoy ha hecho un libro alucinante titulado La msica de los nmeros primos. Servira un conocimiento avanzado de la distribucin de los nmeros primos para facilitar la ingeniera inversa de los mtodos criptogrficos basados en RSA y curvas elpticas o no tiene nada que ver?

Ambos sistemas criptogrficos estn basados en la existencia de operaciones irreversibles en tiempo polinomial. Djame que te lo explique. En el caso de RSA, se trata de la multiplicacin y la factorizacin: es muy fcil para un ordenador multiplicar dos nmeros primos de entre 300 y 400 dgitos cada uno, pero, conociendo solo el producto, incluso la mquina ms potente del mundo tardara millones de aos en encontrar los dos factores. La criptografa de curvas elpticas es ms difcil de explicar, pero el principio es el mismo: cierta operacin es fcil de realizar en un sentido, pero no en sentido contrario. Como la clave pblica es el resultado de esa operacin, aunque alguien la intercepte, para desencriptar el mensaje tendra que revertirla. De modo que la pregunta es si existen algoritmos rpidos de factorizacin, y yo no conozco ningn enunciado que los relacione con la hiptesis de Riemann. S que existe un procedimiento de computacin cuntica, el algoritmo de Schor: el da en que se construya un ordenador cuntico con suficientes qubits, el mtodo RSA dejar de ser seguro. Pero por ahora podemos estar tranquilos: el mayor nmero que se ha conseguido factorizar con ese mtodo es 21 (risas). Con eso no quiero decir que no sea un avance de extraordinaria importancia. Una vez le escuch a Juan Ignacio Cirac compararlo con el paso de las cartas al correo electrnico: por mucho que mejore el correo postal, nunca ser como un e-mail; es otra dimensin.

Se ha abordado la indecibilidad de encontrar la existencia de un patrn en los nmeros primos o no ha lugar?

De hecho, existen frmulas que generan todos los nmeros primos. Es una consecuencia del teorema de Davis-Putnam-Robinson-Matiyasevich que establece que un subconjunto de los nmeros naturales es recursivamente enumerable si y solo si es diofntico. Recursivamente enumerable significa que existe un algoritmo que imprime, suponiendo que se le deje actuar indefinidamente, todos los valores del conjunto. Los nmeros primos lo son porque, dado un nmero cualquiera, se puede decidir en un nmero finito de pasos si es primo o no, as que lo nico que tiene que hacer la mquina es ir examinando los nmeros naturales uno a uno e imprimiendo solo aquellos que sean primos: 2, 3, 5, 7, 11 Diofntico, por su parte, quiere decir ms o menos que existe una ecuacin con coeficientes enteros cuyas soluciones son exactamente los elementos del conjunto. Por ejemplo, los nmeros pares son diofnticos, pues son las coordenadas x de las soluciones de la ecuacin x-2y=0. Gracias al teorema que he mencionado, sabemos que los nmeros primos son diofnticos, de modo que existe una frmula que los genera todos. En los aos 70 se encontr un tal polinomio, en 26 variables.

Pero eso no permite predecir cul es el siguiente nmero primo a uno dado: su distribucin sigue siendo un misterio. Usando otra vez los factoriales, podemos ver que existen intervalos tan grandes como queramos sin nmeros primos. En efecto, n!+2, n!+3, , n!+n es un intervalo de longitud n-1 sin ningn nmero primo, porque n!+2 es divisible por 2, n!+3 por 3, y as sucesivamente, hasta n!+n, que es divisible por n. Aun as, el matemtico Yitang Zhang acaba de demostrar que existen infinitos pares de nmeros primos separados por una cantidad menor que una cierta constante. En su artculo, Zhang establece el valor de esa constante en 70.000.000. Gracias a un proyecto de colaboracin masiva online, Polymath, en un par de meses se ha conseguido reducirla a 14.950. El objetivo es llegar a 2, lo cual dara una respuesta positiva al problema de los primos gemelos.

 

Andr Weil, como t ya has comentado, fue uno de los fundadores del grupo Bourbaki, responsables entre otras cosas de hacer que los que empezamos en la EGB en los 70 odisemos las matemticas (aquello de los conjuntos, los cardinales). Cul es la pedagoga matemtica ms efectiva, la de la abstraccin o la contextualizada histricamente?

No creo que los miembros de Bourbaki fueran responsables de esa deriva pedaggica, sino una serie de conversos que, por normal general, no eran matemticos. Y ya se sabe que los conversos son siempre los ms fanticos. Yo tuve la suerte de que me ensearan 2+3=5 y no que el cardinal de la unin disjunta de un conjunto de cardinal dos y de un conjunto de cardinal tres es cinco (risas). Los excesos de aquella poca no solo tuvieron consecuencias negativas para la generacin que los sufri, sino tambin para todas las posteriores porque, para paliarlos, se decidi eliminar toda abstraccin de la enseanza de las matemticas. Se prohibieron las demostraciones, y este extremo es igual de malo que el otro. Eso no quiere decir que haya que volver a una pedagoga axiomtica: lo ideal sera un mtodo casi experimental en el que los conceptos vayan apareciendo poco a poco.

En un texto muy iluminador sobre la educacin matemtica, Vladimir Arnold explica que, en los aos 60, dio un curso de teora de grupos a alumnos de instituto; alejndose de los detalles tcnicos y sin perder nunca de vista la fsica, en un semestre lleg a explicar la insolubilidad por radicales de la ecuacin de quinto grado. Tambin John Conway cuenta en una entrevista reciente que no decide el tema de una charla en funcin de la formacin del pblico, sino solo la forma de tratarlo: si los estudiantes son jvenes, insiste ms en las ideas que en los detalles. Sin ser tan ambiciosos, cmo es posible no explicar por qu hay infinitos nmeros primos o por qu la raz cuadrada de dos es irracional? Son dos ejemplos de demostraciones accesibles a todo el mundo, que adems permiten ensear una tcnica muy til en el razonamiento matemtico: la reduccin al absurdo. Eso es lo que echo de menos en la enseanza de las matemticas. Te confesar que nunca me han interesado los juegos de mesa, y creo que es porque no tengo ninguna motivacin para ganar. Con las matemticas pasa lo mismo: es difcil interesarse por un problema si lo nico que te ensean son los pasos para resolverlo, sin saber por qu ese problema es interesante o dnde surge o quin lo ha estudiado antes que t.

Clara Grima nos deca en una entrevista que en Japn, por ejemplo, hay programas matemticos en la televisin con audiencias muy altas. A qu se debe?

No veo ninguna razn por la que un programa similar no funcionara en Espaa. De hecho, el balance de todas mis experiencias divulgadoras es siempre el mismo: las matemticas interesan a la gente. Si lo haces bien, puedes tener en vilo durante una hora a un pblico de lo ms variado hablndoles de nmeros primos o de topologa. Para promocionar la coleccin El mundo es matemtico, El Pas tuvo la brillante idea, que luego copi Le Monde, de colgar en su web un vdeo con un problema matemtico y dar una semana a los lectores para resolverlo. Fue un xito increble, nadie se lo esperaba. Yo mismo particip presentando uno de los desafos, relacionado con las matemticas de los procesos electorales. Recibimos unas 600 soluciones, y muchos de los que nos escriban nos contaban que esperaban con ansia cada nuevo vdeo; recuerdo un lector que me escribi: Estoy resolviendo el problema en el hospital, con mi hijo recin nacido en brazos. A ver si as se aficiona a las matemticas. Si eso no es inters

Pero son raros los casos en los que realmente se aprovechan todos los medios de los que disponemos. El telediario, sin ir ms lejos. Tienes delante a una audiencia de millones de personas y pierdes cinco minutos con partos en autobuses, explosiones de gas y otros sucesos sin inters alguno: haz que aprendan algo!, hblales de ciencia, cuntales la Odisea. El problema es que quienes estn en condiciones de poner en marcha iniciativas como esta son los mismos que han conseguido que sea posible terminar 20 aos de educacin con una cultura lamentable y sin haber ledo un solo libro.

En Italia son muy de jugar con las palabras, en Francia est el Oulipo Y en Espaa no tenemos nada

Bueno, nos gustan los juegos de palabras tambin. S que es cierto que visto desde fuera, claro, pensamos que el Oulipo es un fenmeno de masas, y son cuatro. Lo fueron en su momento y lo siguen siendo ahora.

Arqumedes aplic el mtodo Diagonal para calcular El Arenario (el nmero de granos de arena necesarios para llenar el Universo). Ahora hay matemticos que intentan demostrar que cualquier nmero puede aparecer en las cifras decimales del nmero Pi. Qu se esconde tras estos divertimentos? Son solo un juego?

Es una cuestin de gusto. Yo creo que hay problemas ms interesantes que ese, porque el hecho de que π contenga, pongamos, todas las cifras del 0 al 9 con igual frecuencia no es sorprendente: lo sera que el 3 apareciese mucho ms que el 7. Pero todo depende de cmo presentemos el problema. La cuestin subyacente es de una simplicidad casi provocadora: qu es un nmero? Empecemos por un ejemplo fcil: cmo definimos la raz cuadrada de 2? Es un nmero que, multiplicado por s mismo, da 2; si lo llamamos x, cumple la relacin x2=2. Los nmeros de este tipo, que son solucin de ecuaciones polinomiales, se llaman algebraicos. En cuanto a π, la forma ms sencilla de definirlo es como el rea de un crculo de radio uno; fjate que no tiene nada que ver. As que podemos preguntarnos: es π solucin de alguna ecuacin polinomial? Y la respuesta es no; esos nmeros se llaman trascendentes. Mi amigo Juanjo Ru y yo acabamos de escribir un librito sobre ellos para la coleccin Qu sabemos de?, editada conjuntamente por el CSIC y por Los Libros de la Catarata. En cierta medida, los nmeros trascendentes contienen una cantidad infinita de informacin, en contraste con los algebraicos. Si pensamos que cualquier texto se puede codificar mediante una secuencia numrica y π las contiene todas, significa que dentro de π est El Quijote. No hay duda de que eso hace ms atractivo el problema, pero no es una razn matemtica para interesarse en l

En psicologa el modelo ms utilizado de explicacin de la mente humana es el que asimila los procesos cognitivos como los procesos de computacin. Por otro lado, en base a la lgica difusa y las redes neuronales estamos avanzando en I.A.. En tu opinin, buscamos replicar al ser humano a travs de modelos o ponemos de manifiesto nuestra naturaleza con la bsqueda de los mismos?

El intento de comprender el cerebro y, en ltima instancia, de reproducirlo es un producto del cerebro. Virgilio llama afortunado al que conoce las causas de las cosas: no hay nada ms humano que la voluntad de comprender. Y la inteligencia sigue siendo un misterio en una poca que ha desvelado los secretos de tantas cosas. Por desgracia, mi conocimiento de las redes neuronales y los algoritmos genticos es solo el de un lector interesado. Hay argumentos muy famosos contra la inteligencia artificial, pero ninguno de ellos se sostiene. Podramos pasar horas hablando del test de Turing o de la habitacin china de Searle; tambin el teorema de Gdel tiene reservado su papel. Los detractores de la inteligencia artificial explican, a grandes rasgos, que ninguna mquina puede emular al cerebro porque si le diramos uno de los enunciados indecidibles cuya existencia predice el teorema, la mquina se pasara toda la eternidad intentando demostrarlo o refutarlo, mientras que un ser humano sera capaz de ver que es indecidible. El problema es que, entre las hiptesis del teorema de Gdel, est la consistencia. y no est nada claro que demostrar la consistencia sea ms fcil para un ser humano que para una mquina. De hecho, lo que a menudo se conoce como segundo teorema de Gdel afirma que la consistencia de la aritmtica no se puede demostrar sin salirse de la aritmtica.

Fuente: http://www.jotdown.es/2013/08/javier-fresan-las-metaforas-estan-condenadas-a-desvirtuar-teorias-cuya-comprension-requiere-anos-de-aprendizaje-esa-es-la-soledad-del-matematico/



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