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Aumentar tamaño del texto Disminuir tamaño del texto Partir el texto en columnas Ver como pdf 14-04-2017

Reseas de Los nmeros Primos, de Enrique Gracin, y El enigma de Fermat. Tres siglos de desafo, de Albert Violant i Holz
Aptos (y beneficiosos) para todos los pblicos

Salvador Lpez Arnal
Rebelin


Primer ejemplo, una ilustracin de la concepcin platnico-galileana, la intensa y significativa relacin entre la matemtica, su lenguaje, sus resultados y la naturaleza, que tomo de un libro enorme: Georges Ifrah, Historia universal de las cifras. La inteligencia de la Humanidad contada por los nmeros y el clculo, Espasa Calpe, Madrid, 1997 (p. 35).

La avispa solitaria es un insecto cuya conducta puede sorprendernos a primera vista (y en quinta mirada). La avispa madre deposita cada uno de los sus huevos en un agujero distinto y los provee de cierto nmero de orugas vivas, de las que se alimenta su prole al eclosionar. Hasta aqu nada, casi nada o poco para nuestro tema. Pero resulta que el nmero de esas orugas es notablemente constante para cada especie de avispas: algunas ponen cinco (y ponen siempre cinco), otras ponen doce, otras llegan hasta veinticinco por celdilla. No cometen errores: cinco, doce, veinticinco, sin cambios, constantemente, no seis, siete o cinco dependiendo del viento, del azar o de la "suerte".

Hay ms, hay ms sorpresas. Existe una especie llamada Genus eumenus, una variedad de avispas en la que el macho es ms pequeo que la hembra. Por "algn misterioso instinto", o por las razones que sean, la madre siempre sabe -sabe?- si tal huevo producir un macho o una hembra y, en consecuencia, provee el agujero de alimento. No modifica ni la especie ni el tamao de las orugas, pero si ella "sabe" que el huevo es de un macho pondr siempre cinco y si es hembra pondr diez. Sin errores, sin equivocaciones. Cinco, diez, macho, hembra. Automatismos del instinto? Ya est y a otra cosa? Probablemente...

Segundo ejemplo: los pitagricos dividieron los nmeros naturales en tres grupos: excesivos, defectuosos y perfectos. Un nmero es excesivo si sus divisores propios (el propio nmero no vale) sumados dan un resultado mayor que el nmero; defectuosos si la suma era menor y perfectos si coincida. 12, por ejemplo, es excesivo: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 es mayor que 12; 1 + 2 + 4, los divisores propios de 8, suma 7, menor que 8, que es, por tanto, nmero defectuoso. 1 + 2 + 3, los divisores de 6, suman el propio nmero, el primer nmero perfecto. Los griegos supieron de la existencia de cuatro de ellos: 6, 28, 496, 8128.

El quinto perfecto (33.550.336, descubierto muchos siglos despus) tiene 8 dgitos, contradiciendo la primera suposicin de que deba tener, siguiendo "la lgica anterior", cinco cifras (el primero, una cifra; el segundo, dos; el tercero, tres; el cuarto, cuatro). El sexto es el 8.589.869.056. El perfecto ms grande descubierto hasta el momento es la potencia de 2 elevado a 74.207.280 multiplicada por la siguiente potencia de 2 menos 1. El nmero perfecto del que estamos hablando tiene 44.677.235 cifras! Un libro escrito, con una letra de 12pt y sin espacios, podra alcanzar unas 36.000 pginas para dar cuenta de todas sus cifras.

Un grandioso teorema acompa desde un primero momento -Elementos, Euclides- el papel de estos nmeros: si la suma de las sucesivas potencia de 2, empezando por 2 a la cero (que es 1), era un nmero primo (3 o 7 por ejemplo, se les llama primos de Mersenne), el producto de esa suma por el ltimo de los sumandos -por la ltima potencia de la serie- generaba un nmero perfecto.

Euler, muchos siglos despus, complet el teorema: todos los nmeros perfectos pares se generan a partir de la frmula que descubri Euclides o que ste mostr y demostr en sus Elementos.

Desconocemos, seguimos desconociendo, si el nmero de perfectos es finito o infinito e ignoramos tambin si existe algn perfecto que sea impar (aunque existen demostraciones ms que interesantes que limitan grandemente esa posibilidad). Hasta ahora hemos descubierto 49, no hemos llegado al medio centenar. Entre el 4 y el 5 pasaron 18 siglos; desde 1900 hemos descubierto 40. Los perfectos y los primos de Mersenne se usan en temas de encriptacin.

Si ninguna de estas ilustraciones matemticas les dice algo, los dos libros referenciados no son sus libros. Ni seguramente esta resea es su resea. Djenlo aqu..

Pero si les ha picado la curiosidad, si no les he aburrido o les ha interesado en algn momento, empiecen por el primero de ambos, acaso el ms asequible. Algunos nudos delicados o un poco ms difciles se sitan al final, en anexos o en demostraciones. Lo dems no presenta dificultades. En el captulo VII, por ejemplo, se nos explica "Para qu sirven los nmeros primos?". Una de las demostraciones ms hermosas (y simples) de la historia de las matemticas y de la ciencia en general, la no finitud de los primos (su infinitud actual en las concepciones matemticas dominantes), se puede leer, reconstruida, en las pginas 137-138. Tambin, con alguna dificultad aadida, el pequeo teorema de Fermat.

Hablando de Pierre de Fermat... El segundo libro es una aproximacin a la demostracin de su gran conjetura, una de las grandes aventuras del espritu humano como dira Jean Dieudonn, un desafi matemtico que ha durado, con nervios finales incluidos, ms de tres siglos y medio, hasta que a finales del siglo XX Andrew Wiles, un matemtico britnico, lo consigui. El captulo VI del libro -"La prueba"- nos acerca en la medida de lo posible a la demostracin de esta conjetura fermatiana que puede presentarse en estos trminos: existen infinidad de ternas pitagricas tipo <3,4,5>, de tal forma que el cuadrado del primer nmero ms el del segundo suman igual que el cuadrado del tercero. Infinitas; existen algoritmos que las generan. En el museo Britnico, en la parte expoliada a Egipto (cosa que afortunadamente no ha ocurrido con la primera inscripcin del 0 que permanece en un museo de Camboya), pueden verse dos o tres ejemplos en el papiro de Rhind. Pero qu pasa si en lugar de calcular el cuadrado pensamos en el cubo o en cualquier otra potencia superior? Cuntas ternas hay en este caso? La respuesta: no existe ninguna terna. Tanto da que el exponente sea el 3, el 4, el 5 o cualquier otro entero positivo. No existe ninguna terna de naturales que tengan esta caracterstica. Fue sta la conjetura de Fermat, el abogado-matemtico coetneo de Descartes. En un libro de Diofanto que estudiaba anot que no tena espacio suficiente para dar cuenta de la maravillosa demostracin que haba descubierto. Hemos tardado ms de 350 aos en dar con ella.

Por cierto, uno de los mejores grafitis (estacin de metro de Nueva York, 1998) de los que tengo informacin (pgina 123 del segundo libro): "xⁿ + yⁿ = zⁿ: no hay soluciones. He descubierto una prueba en verdad maravillosa de esto... pero mi tren est al llegar y no me da tiempo de escribirla". Me digo: se me debera haber ocurrido y respondo: pero nunca se me ocurri.

National Geographic, Barcelona, 2016, 143 pginas

National Geopraphic, Barcelona, 2015, 144 pginas

Rebelin ha publicado este artculo con el permiso del autor mediante una licencia de Creative Commons, respetando su libertad para publicarlo en otras fuentes.



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