Portada :: Cultura
Aumentar tamaño del texto Disminuir tamaño del texto Partir el texto en columnas Ver como pdf 24-11-2018

Geometra e imaginacin

Rodolfo Bueno
Rebelin


La Geometra nace en los albores de la humanidad, pues el hombre primitivo clasifica los objetos que le rodean segn sus formas, tarea abstracta que lo impulsa a acercarse a esta ciencia intuitivamente. La geometra tiene en Egipto un carcter prctico, ya que los funcionarios del faran usan las frmulas para calcular reas y longitudes, conocen as la configuracin de cada parcela y la reconstruyen luego de que el Nilo vuelve a su cause despus de una inundacin; tambin, determinan de antemano la produccin para el cobro de los impuestos.

Fue en Grecia donde la geometra se convierte en el estudio del orden espacial por medio de la relacin de las formas y se considera a los objetos como entes ideales, que pueden ser manipulados mentalmente o con la sola ayuda de la regla y el comps. Pitgoras convierte a la Geometra en el ideal de su doctrina, en la que el concepto de demostracin es aceptado como nica la va para el establecimiento de la verdad. Su conocimiento fue considerado bsico para acceder a etapas superiores del desarrollo del espritu humano. Su aporte es fundamental, pues eleva el concepto de nmero a la categora de elemento primigenio, lo que tambin se da en las ciencias actuales.

El teorema de Pitgoras genera la primera crisis de la matemtica. Sucede que si se asigna el valor de uno a cada cateto de un tringulo rectngulo, la hipotenusa mide raz de dos, nmero que para los griegos no existe por ser inconmensurable. Llaman a estos nmeros irracionales y los imaginan excepcionales. Veinticuatro siglos despus, Cantor demuestra que los racionales son una parte insignificante de los irracionales.

Para Platn, la geometra y los nmeros son la quinta esencia del lenguaje filosfico y el ideal simblico de la verdad espiritual. Por eso inscribe a la entrada de su escuela Nadie entre aqu si no es gemetra ; a l mismo se le atribuye la frase de que Dios hace siempre Geometra. Cuando habla del dios gemetra, hace referencia al hijo de Zeus, Apolo, al que los griegos otorgan el dominio de las ciencias y las artes y en cuyo templo est grabada la inscripcin: Gnothi sauton, o sea, concete a ti mismo, que evoca al conocimiento adquirido por la va de la Geometra.

En Grecia aparece tambin un problema de lgica pura: Para demostrar un resultado, denominado tesis, se parte de una o de varias hiptesis. La veracidad de la tesis depende de la validez del razonamiento con que se la obtiene y de la veracidad de las hiptesis. Entonces se debe partir de hiptesis ciertas para poder confirmar la tesis. Determinar la veracidad de la hiptesis exige considerarla como una tesis, cuya hiptesis se deber comprobar tambin. Se entra as en un proceso sin fin en el que, a su vez, cada hiptesis se convierte en tesis a probar.

Euclides zanja esta dificultad al proponer un sistema en el que se acepta sin demostracin la veracidad de ciertas hiptesis, a partir de las cuales se deduce la tesis. Su sistema se halla sintetizado en su obra cumbre Los Elementos, modelo axiomtico deductivo que se basa en cinco postulados y definiciones precisas, que constituyen toda la geometra y la aritmtica de entonces. Euclides sintetiza el mtodo deductivo y esquematiza la Geometra del mundo antiguo y medieval.

A pesar de que veracidad del quinto postulado est fuera de toda duda, trae desde sus inicios el problema de si puede ser deducido de los otros cuatro. Durante los siguientes milenios, uno de los principales trabajos en la geometra va a consistir en determinar si el quinto postulado es dependiente de los otros cuatro o no, o sea si puede ser considerado un teorema deducible de los otros. Hasta la alta Edad Media en las escuelas y en las universidades se ensea Los Elementos, pero aunque nunca se logra deducir si el quinto postulado es o no dependiente de los otros cuatro, se le dan formulaciones equivalentes, una de estas formulaciones dice que por un punto fuera de una recta pasa una sola recta paralela a dicha recta.

Axioma es una palabra que en griego significa lo que parece justo o evidente, para los filsofos antiguos de Grecia era aquello que no necesita ser demostrado; entonces, si se razona con axiomas se puede revelar el resto del conocimiento humano. Para la matemtica, un axioma es una expresin lgica utilizada para racionalmente llegar a una conclusin. Resta por saber si hay contradicciones que se deducen de un sistema de axiomas y si, por lo tanto, existen afirmaciones cuya veracidad o falsedad no pueden ser probada; de ser as, el sistema es inconsistente.

Gauss deduce una geometra no contradictoria en la que no se cumple el quinto postulado de Euclides, pero le asusta tanto el resultado que no lo publica. Posteriormente, Lobachevsky y Bolyai dan a conocer al mundo, de manera simultnea e independiente, una geometra con cinco postulados idnticos a los de Euclides, excepto el quinto. Lobachevsky sostiene que por un punto, que no pertenece a una recta, pasan por lo menos dos rectas paralelas a la recta dada, intenta as llegar a una contradiccin sobre el quinto postulado, al que niega y sustituye por otro aparentemente absurdo, lo que, aunque parezca falso, es vlido desde el punto de vista de la lgica formal. Para su asombro obtiene una nueva geometra que es verdadera si es verdadera la de Euclides. Para negar el quinto postulado, Riemann sostiene que por un punto que no pertenece a una recta no pasa ni una recta paralela a la misma, lo que, aunque parezca falso, es vlido desde el punto de vista de la lgica formal; asimismo, su geometra es verdadera si es verdadera la de Euclides.

Las tres geometras, la de Lobachevsky, Riemann y Euclides, se diferencian slo por la curvatura de Gauss de una superficie, que puede ser negativa, positiva o cero, respectivamente. En el primer caso, la suma de los ngulos interiores de un tringulo es menor que 180 grados, en el segundo es mayor a 180 grados y en el tercero es igual a 180 grados. En la geometra de Riemann esto es fcil de observar, pues si nos situamos en el ecuador, donde dos paralelos caen perpendicularmente al meridiano ecuatorial, si a la suma de dos ngulos rectos, que es 180 grados, si se le agrega el valor del ngulo que los dos paralelos forman en el polo, el resultado da un valor mayor que 180 grados, para cualquier tringulo as formado.

El 10 de junio de 1854, Riemann dicta una conferencia en la Universidad de Gotinga. El tema es: Sobre las hiptesis que estn en los fundamentos de la geometra. Su contenido constituye uno de los mayores logros cientficos de la humanidad. De los presentes slo su antiguo profesor, Gauss, escucha entusiasmado porque tal vez es el nico que lo comprende.

En su conferencia generaliza el concepto de superficie para cualquier nmero de dimensiones, demuestra que la geodsica es la curva que minimiza la distancia entre dos puntos sobre cualquier superficie, es decir, un concepto anlogo al de la recta en el plano, donde la lnea recta minimiza la distancia entre dos puntos. Como ya se dijo, encuentra que hay superficies en las que los tringulos formados por geodsicas suman ms de ciento ochenta grados y otras, en las que suman menos, lo que contradice al quinto postulado de Euclides y a la intuicin humana.

Segn Riemann, es la mtrica del espacio, o sea la manera con que se mide la distancia que separa a dos puntos, lo que determina la geometra del espacio. Por ejemplo, el plano no es por s mismo el plano euclidiano sino que con una mtrica se cumple el quinto postulado, pero, con otra mtrica, como la de Lobachevsky, no se verifica dicho postulado. Debe transcurrir ms de medio siglo para que en 1915 sus ideas sean aplicadas por Einstein para crear la Teora General de la Relatividad.

En 1872, Felix Klein publica El Programa de Erlangen, que se considera una gran revolucin de la geometra y, en general, de la matemtica, porque da una nueva definicin de geometra. En este programa de investigacin Klein descubre que la geometra euclidiana y las no euclidianas son casos particulares de la geometra proyectiva y que la geometra euclidiana es consistente, o no contradictoria, si y slo si son consistentes las geometras no euclidianas. Esta memoria, la Conferencia de Riemann y los Elementos de Euclides son los puntos ms esenciales de la geometra.

El Programa de Erlangen es bastante sencillo y trata de dar una definicin formal sobre qu es geometra, ms all de la idea intuitiva que sobre ella se tenga. La pregunta es lgica pues por haber tantas geometras no se sabe lo que son, slo est claro que no se trata del estudio de puntos, rectas, circunferencias y planos. Klein da la respuesta a esta pregunta introduciendo en la geometra el concepto de grupo, o sea un conjunto en el que est definida una operacin y sus reglas. Descubre que la geometra es el estudio de las propiedades invariantes, o sea que no cambian al aplicarles una transformacin de tipo grupal. Las transformaciones que permanecen invariantes deben tener estructura de grupo para la operacin de composicin, o sea, para la aplicacin sucesiva de la misma transformacin al resultado de la primera. As descubre, por ejemplo, que la geometra euclidiana es el estudio de los invariantes mediante el grupo de los movimientos rgidos (como son las simetras, los giros y las traslaciones paralelas). El descubrimiento de Klein es fundamental ya que permite clasificar a las geometras y comprender cul es la estructura general de cada una de ellas. Klein consagra a la geometra proyectiva como la reina de las geometras. Con l, una ciencia fue capaz de definirse a s misma de manera rigurosa, por lo que su pensamiento constituye el punto culminante del intelecto humano.

En 1920, Hilbert propuso investigar si la matemtica puede enunciarse sobre razones slidamente lgicas, si toda la ciencia deviene de un conjunto finito de axiomas escogidos correctamente y si se puede probar que este sistema es consistente, o sea que con sus reglas no se puede demostrar al mismo tiempo la verdad y la falsedad de una proposicin formulada con toda precisin. Pretenda, as, crear un sistema matemtico formal completo y consistente; de cumplirse con este objetivo, cualquier problema bien planteado podra ser resuelto mediante la razn.

Gdel, en contra de esta idea, obtuvo en 1931 el Teorema de la Incompletitud y demostr que incluso la aritmtica, slo mediante sus propios axiomas, no se poda demostrar a la vez que es consistente y completa; por lo tanto, no se poda demostrar la consistencia de ningn otro sistema ms complejo que la contuviera; de esta manera, demostr que era indemostrable la completitud de un sistema que incluya la aritmtica.

Segn Gdel, un sistema axiomtico, por definido y consistente que sea, posee serias limitaciones y siempre habr en l una proposicin verdadera P no demostrable; adems, si la misma pudiera ser demostrada, el sistema sera contradictorio. Por ejemplo, si se afirmara que esta sentencia no puede ser demostrada, entonces el sistema formal donde se la pudiera demostrar sera inconsistente porque demostrara una sentencia que ella misma afirma que no puede ser demostrada, lo que es contradictorio. Si una sentencia no se puede probar dentro de un sistema formal, entonces lo que ella afirma es verdadero y, por tanto, la sentencia es consistente, pero como el sistema contiene una afirmacin cierta, que no se puede probar, entonces el sistema es incompleto.

El teorema de Gdel demuestra que cualquier sistema es necesariamente incompleto y contiene afirmaciones que no se pueden refutar ni demostrar. Para ello, Gdel construy una frmula verdadera, que no poda ser demostrada; esto significa que todo sistema consistente no es completo. La existencia de un sistema incompleto no es sorprendente y simplemente significa que en l no se hallan todos los axiomas necesarios; pero ste no puede ser completado, pues cada vez que se aade un nuevo axioma, habr por lo menos uno que haga falta; as, de esta manera, nunca se podr encontrar un conjunto completo de axiomas. Consecuentemente, es imposible implementar el sistema formal planteado por Hilbert. Una versin posterior del teorema de Gdel indica que ningn sistema deductivo, en el que est incluida la aritmtica, puede ser a la vez consistente y completo. La incompletitud afecta a la lgica formal, que usa el formalismo para definir sus principios, pues nunca se podr encontrar un sistema axiomtico que sea capaz de demostrar todas las verdades matemticas y ninguna falsedad.

El segundo teorema de la incompletitud afirma que ningn sistema consistente puede ser usado para demostrarse a s mismo, lo que es inquietante para los fundamentos de la matemtica, puesto que, segn ste nuevo teorema, si un sistema axiomtico puede a partir de s mismo demostrar que es consistente, entonces es inconsistente. As, indirectamente se ha demostrado que nunca se podr desarrollar un programa informtico que cumpla con el requisito de demostrar si una aseveracin cualquiera es verdadera o falsa.

Estos resultados son devastadores para el intento de formalizacin de Hilbert, quien haba propuesto que la consistencia de los sistemas ms complejos se podra probar en trminos de sistemas ms sencillos. Sin embargo, Minsky asegura que Gdel le haba sostenido que sus teoremas no limitaban la capacidad cognoscente del hombre, porque los seres humanos no slo son racionales sino que tambin poseen intuicin, importante soporte para la bsqueda de la verdad por ser un conocimiento que se obtiene sin seguir un patrn racional y cuya formulacin no puede ser racionalmente explicada. Se puede relacionar a la intuicin con experiencias previas, pero no siempre es posible explicar el cmo y el porqu se llega a cierta conclusin valedera. As, en la constitucin del conocimiento hay una habilidad que transciende la razn pura, por lo tanto, la razn y la intuicin, adems de la imaginacin y la inspiracin, no mencionadas por Gdel, se complementan en la bsqueda de la verdad.

Para terminar, el Universo tiene un lenguaje en el que la Geometra es el cdigo que utiliza como alfabeto. Sus huellas las encontramos en las ciencias, en las artes, en la arquitectura, en la msica, en el lenguaje animal y humano, en la Cbala, en el ADN, en las retculas terrestres, en nuestro corazn, en la geologa y, en general, en toda la Flor de la Vida. La Geometra estudia las proporciones y las medidas de la materia y la tierra, y su relacin con el principio de auto sustentacin. Se puede sostener, sin temor a equivocarse, que as como la Lgica no es ms que la crtica del pensamiento, la Geometra es la crtica del espacio-tiempo.

 

Rebelin ha publicado este artculo con el permiso del autor mediante una licencia de Creative Commons, respetando su libertad para publicarlo en otras fuentes.



Envía esta noticia
Compartir esta noticia: delicious  digg  meneame twitter