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Aumentar tamaño del texto Disminuir tamaño del texto Partir el texto en columnas Ver como pdf 25-03-2007

Historia de la relacin entre las matemticas y las mujeres
Presuposiciones sobre tortugas y asuntos no afines

Salvador Lpez Arnal
Rebelin


 

 

Presuposiciones sobre tortugas y asuntos no afines.

De tal modo, por naturaleza, estn definidos la mujer y el esclavo...Entre los brbaros, la mujer y el esclavo ocupan el mismo rango. La causa de esto es que carecen del elemento gobernante por naturaleza. As que su comunidad resulta de eslavo y esclava...Al referirnos de nuevo al hombre y los dems animales sucede lo mismo...Tambin en la relacin del macho con la hembra, por naturaleza, el uno es superior al otro; la otra, inferior; por consiguiente, el uno domina; la otra es dominada.

Del mismo modo es necesario que suceda entre todos los humanos...Mucho mejor hablan los que enumeran las virtudes, como Gorgias, que los que las definen as, en general. As que hay que pensar que lo que el poeta ha dicho sobre la mujer podra aplicarse a todas: A una mujer le sirve de joya el silencio.

Pero eso no va con el hombre

Aristteles, Poltica, libro I, cap.II, V, XII I [1]

 

1. Introduccin.

Cuando Julia Robinson ingres en la Academia Nacional de Ciencias Norteamericana y recibi el Premio MacArthur, fue citada como ejemplo de mujer triunfadora en un mundo compuesto fundamentalmente por varones. En un pasaje sin duda significativo de su discurso de agradecimiento, Robinson [2] seal:

Toda esta atencin ha sido gratificante, pero tambin embarazosa. Lo que soy realmente es una matemtica. Ms que recordada como la primera mujer en esto o aquello, preferira ser recordada como una matemtica, debera serlo, sencillamente, por los teoremas que he demostrado y los problemas que he resuelto.

 

  El loable deseo de Robinson no quita un pice de verdad a las malas, a las psimas relaciones histricas entre las matemticas y las mujeres. Tradicionalmente y hasta hace muy poco tiempo, mujer y matemticas han sido trminos opuestos cuando no contradictorios. Negro sobre blanco se ha esgrimido el sabio argumento de que las mujeres no podan hacer matemticas, dado que, muy pocas, de hecho, las haban estudiado. El razonamiento tiene el mismo valor que el sostiene la inferioridad intelectual de los hijos e hijas de trabajadores arguyendo que entre ellos el porcentaje de doctores, en tal o cual materia, es mucho menor que entre descendientes de familias burguesas ilustradas. Argumentos as, ms que refutaciones, lo que exigen son cambios de pgina.

La concepcin opuesta es mucho ms verosmil: lo sorprendente es que, a pesar de los enormes y casi insalvables obstculos a los que han tenido que enfrentarse, haya habido mujeres que hayan saltado por encima de ellos de forma casi milagrosa. Parece casi imposible que en las condiciones en las que tradicionalmente se ha desarrollado su existencia, algunas mujeres hayan podido destacar en tal o cual disciplina. Especialmente, en nuestro caso, en el campo de las matemticas.

Y las ha habido. Milagrosamente, si se quiere, pero su conjunto no es vaco. Queremos dar cuenta de cuatro de ellas. Su vida, su tenacidad, sus logros, son pruebas fehacientes de lo que queremos mostrar: cmo, a pesar de los muros de contencin impuestos por razones estrictamente sexistas, ha habido mujeres que derrumbndolos han podido aportar notables contribuciones a la historia de las ciencias matemticas. A ttulo de ejemplo nos referiremos aqu a los casos de Hypatia, Sophie Germain, Sonya Kowalevsky y Emmy Noether.

 

2. Hypatia.

Vestida con el manto de los filsofos, abrindose paso en medio de la ciudad, explicaba pblicamente los escritos de Platn, o de Aristteles, o de cualquier filsofo, a todos los que quisieran escuchar... Los magistrados solan consultarla en primer lugar para su administracin de los asuntos de la ciudad.

Hesiquio el Hebreo

 

Hija de Ten de Alejandra, Hypatia naci en el siglo IV de nuestra era (hacia el ao 370). Fue la primera mujer que ley y coment crticamente grandes obras avanzadas de su poca [3] . Su padre Ten escribi un comentario sobre el Almagesto de Ptolomeo y edit nuevas ediciones de los Elementos y de la ptica de Euclides [4] . Se cree que Hypatia le ayud en la parte 11 de su tratado sobre el Almagesto y en su versin de los Elementos. Comoquiera que sea, Hypatia destac no slo en el campo de las matemticas, sino en los de la medicina y la astronoma. Vinculada a la biblioteca de Alejandra, ninguno de sus papeles nos ha sobrevivido. Aqulla fue destruida poco despus de su muerte.

La gran biblioteca de Alejandra fue construida y sostenida por los Tolomeos, los reyes griegos que heredaron la parte egipcia del imperio de Alejandro Magno. Levantada en el siglo -III, sobrevivi durante siete siglos. Corazn y cerebro del mundo antiguo, la biblioteca fue depositaria de las copias de libros ms exactas del mundo. El Antiguo Testamento, por ejemplo, ha llegado hasta nosotros gracias a las traducciones griegas efectuadas en ella. Los Tolomeos dedicaron parte de su infinita riqueza a la adquisicin de las obras griegas y de las grandes obras de otras culturas (Persia, India, frica). As, Tolomeo III Evergetes consigui prestados de Atenas los originales manuscritos de las grandes tragedias clsicas. Pudo obtenerlas despus de depositar una fuerte cantidad de dinero. No los devolvi, prefiri perder la fortuna depositada.

Figuras de relieve surgieron durante esta poca. As, Eratstenes, que cartografi la Tierra y calcul su tamao; Hiparco que detect las posiciones y las magnitudes de algunas estrellas y su caducidad, as como Galeno y el mismo Euclides, el gemetra. Probablemente, el ltimo cientfico, mejor, la ltima cientfica que trabaj en la Biblioteca fue Hypatia, caso absolutamente singular en un mundo copado nicamente por varones.

Segn Suidas, adems de sus contribuciones en los escritos de su padre, elabor comentarios sobre la Aritmtica   de Diofanto y las Secciones Cnicas de Apolonio.

  Sumergida en la cultura neoplatnica de Plotino y Ymblico [5] , Hypatia se convirti, hacia el 400, en la cabeza visible de esta escuela en Alejandra. A sus clases asistieron distinguidos personajes de la poca como Syneius de Cyrene, el ltimo obispo de los Tolomeos. Se sabe que se intercambiaron cartas. En una de ellas el obispo le pregunta cmo construir un astrolabio y un hidroscopio.

En aquellos aos, el cristianismo estaba consolidando su poder en el mundo clsico. Alejandra era entonces una colonia romana. Cirilo, el arzobispo de Alejandra, despreciaba a Hypatia. Su amistad con Orestes, el prefecto romano de Egipto, antiguo alumno, su papel como smbolo de la cultura y la ciencia helenas que la primitiva Iglesia cristiana identificaba con el paganismo y, probablemente, el mismo hecho de ser una mujer culta en un mundo exclusivamente masculino, originaron el odio cirilense.

Hypatia sigui enseando y publicando hasta que, en el ao 415, cuando regresaba a su casa, cay en manos de una turba fantica de feligreses de Cirilo, quienes le arrancaron del carruaje, la arrastraron a la iglesia Cesrea, rompieron sus vestidos y, armados con conchas marinas, la desollaron, arrancndole la carne de los huesos. Sus restos fueron quemados, sus obras destruidas, su nombre olvidado. Cirilo, en cambio, el pacfico y tolerante arzobispo fue elevado a la categora de santo de la Iglesia [6] , santificacin que no ha sido corregida y homicidio que no ha conllevado ni tan siquiera el manido y fcil perdn.

El prefecto romano, amigo de nuestra matemtica, inform del asesinato y solicit a Roma que se iniciara una investigacin, que se pospuso en repetidas ocasiones por falta de testigos. Cirilo, el canonizado, proclam ms tarde, falsamente, que Hipatia segua viva en Atenas. Orestes, precavidamente, renunci a su situacin y huy de Alejandra. El brutal asesinato de Hipatia marc el final de la enseanza platnica en Alejandra y, seguramente, en todo el Imperio romano.

 

3. Sophie Germain (1776-1831)

  Damos un salto de casi catorce siglos [7] . En el siglo XVIII, en tiempos de Ilustracin, no habra que olvidar empero los nombres de Emilie de Chtelet (1706-1749), la traductora de los Principia al francs y compaera de Voltaire; de Maria Agnesi (1718-1799), de Maria Sommerville (1780-1872) o de Ada Lovelace (1815-1852), la hija de Byron, cuyo papel en los inicios de la historia de la informtica ha merecido que su nombre sea usado para mencionar un lenguaje de programacin. Nos centraremos en la obra de la matemtica Sophie Germain [8] .

Germain naci en Pars el 1 de abril de 1776. Hija de Ambroise-Franois Germain y de Marie-Magdeleine Gruguelu, su padre fue diputado de los Estados Generales despus de la Asamblea Constituyente , y se present a s mismo como tenaz defensor de los Derechos del Tercer Estado, del que l mismo era representante. Ms tarde lleg a ser director del Banco de Francia.

La extensa biblioteca paterna permiti a Germain educarse en casa. Desde muy joven sinti fascinacin por los trabajos matemticos que encontr en la ella. A los 13 aos, ley la descripcin de Plutarco de la muerte de Arqumedes en manos de soldados romanos. Desde entonces el gran matemtico de la Antigedad clsica se convirti en su hroe. Germain tom la decisin firme de convertirse en matemtica, pero no fue fcil, su caso ilustra ntidamente la idea de que en los no lejanos siglos XVIII y XIX la matemtica segua siendo un lugar inhspito para una mujer.

Germain sufri de entrada la oposicin paterna y materna para seguir estudios matemticos. Despus de estudiar latn y griego, ley como pudo a Newton y Euler. Tuvo que introducir libros a escondidas en su habitacin y leerlos a la luz de las velas. Sabedores de ello, sus padres le quitaron velas y mantas para impedirle que fuera correteando por los pasillos de la casa, pero ni siquiera esas medidas pudieron doblegarla.

La Biblioteca familiar le fue til hasta sus 18 aos. Su entrada en la Universidad fue imposible. Las mujeres tenan vetada su entrada. Tuvo que seguir las clases desde fuera del aula, a la puerta de clase, captando la informacin que poda y tomando prestados los apuntes de sus compasivos compaeros varones. As pudo tener noticia de los Chiers de lecturas de Lagrange sobre anlisis.

Tomando por vez primera, aunque no ltima, el nombre de Le Blanc, Germain escribi un artculo sobre anlisis y se lo envi al mismsimo Lagrange. Asombrado ste de la originalidad y exactitud del trabajo, quiso conocer a su autor descubriendo que monsieur Le Blanc era realmente madame Sophie Germain. Desde entonces, sea dicho en honor de Lagrange, se convirti en su tutor matemtico.

La correspondencia que sostuvo Germain con grandes intelectuales de la poca muestra su alta educacin en materias tan diversas como las matemticas, la literatura, la biologa y la filosofa [9] . Se escribi, por ejemplo, con Legendre acerca de problemas surgidos a finales del siglo XVIII en la teora de nmeros. La correspondencia es voluminosa y el mismo Legendre incluy algunas de las demostraciones de Germain en el suplemento a la segunda edicin de su Thorie.

Una de las mximas contribuciones de nuestra matemtica tiene que ver con el ltimo teorema de Fermat [10] . El teorema, como es sabido, afirma que para todo entero positivo n, superior a 2, no existen ternas de eneros positivos, tales que la suma de la ensima potencia del primero ms la ensima potencia del segundo iguale a la ensima potencia del tercero. Por razones de orden matemtico [11] , demostrar la conjetura de Fermat era equivalente a probarla para n=4 y para todos los nmeros primos. El propio Fermat demostr su conjetura para el primer caso [12] . Euler lo demostr para n igual a 3. Ms tarde, en 1825, Adrien Marie Legendre y J.Peter Gustav Leujeune zanjaron el caso para n igual a 5. Ernst Kummer, en 1850, elimin de un solo golpe todos los exponentes primos menores de 100, salvo el 37, el 59 y el 67 [13] .

La aportacin de Germain a la historia de la resolucin del teorema consisti en la demostracin de la imposibilidad de soluciones positivas, x, y , z, si esos nmeros no eran divisibles por el exponente p [14] , para todo p menor que 100. Es decir, si, por ejemplo, p es igual 5, Germain demostr que no hay soluciones, x, y, z, si ninguno de esos tres nmeros es divisible por 5. No hay afirmacin general: no se prueba aqu que no haya soluciones para la ecuacin discutida, sino que, si las hubiera, alguno de los elementos de la terna deba ser divisible por el exponente en cuestin.

El nombre de Le Blanc lo us Germain en otras ocasiones. Ledas las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss, se atrevi a escribir al gran matemtico alemn apuntando innovaciones de los resultados contenidos en su obra. Gauss qued impresionado. Ella -l, para Gauss, en aquel momento- demostraba haber ledo sus escritos con detenimiento y dominio, presentando, con rigor, algunas ampliaciones y generalizaciones de sus resultados.

Cuando las tropas francesas ocuparon Hannover, Germain temi lo peor. Recordando el caso de la muerte de Arqumedes por soldados romanos, intercedi frente al comandante en jefe de las tropas francesas, el general Pernety, amigo de su familia. Por ello, a partir de 1807, Gauss conoci la autntica personalidad de su corresponsal Le Blanc. En ese mismo, Germain escriba a Gauss dicindole [15] :

He optado anteriormente por el nombre de Le Blanc para comunicarle esas notas que, sin duda, no merecen la indulgencia con la que usted me ha respondido... Espero que la informacin que le he confiado no me prive del honor que se ha dignado acordarme con un nombre prestado y que me dedicara unos pocos minutos para darme noticias sobre usted

 

La respuesta de Gauss merece, sin duda, su reproduccin [16] :

El gusto por las ciencias abstractas, en general, y sobre todo, por los misterios de los nmeros, es muy raro: esto no es sorprendente, ya que los encantos de esta ciencia sublime se autorrevelan en toda su belleza slo a los que tienen el valor de comprenderla por completo. Pero cuando una mujer, a causa de su sexo, nuestras costumbres y prejuicios, encuentra infinitamente ms obstculos que los hombres para familiarizarse con sus intrincados problemas y, sin embargo, supera estas restricciones y penetra en lo que es ms recndito, sin duda posee el ms alto valor, un talento extraordinario y un genio superior... [la cursiva es nuestra]

  

  Reconoca Gauss, adems, que los trabajos matemticos de Le Blanc- Germain me han proporcionado miles de placeres.

No fue sta, sin embargo, la ltima vez en Germain tuvo que esconder su gnero, su identidad. La Academia Francesa convoc un premio en 1816 en torno a la naturaleza de las vibraciones en placas elsticas. De nuevo tuvo que presentarse con su seudnimo de Antoine Le Blanc para no revelar el imperdonable pecado de ser mujer. Gan el premio por su agudo anlisis de la naturaleza de esas vibraciones.

En 1821 public su artculo bajo el ttulo Remarques sur la nature, les bornes et ltendue de la question des surfaces lastiques et quation gnrale de ces surfaces [17] , en el que estableci que la ley para la vibracin general de una superficie elstica vena dada por la diferencial parcial de cuarto orden de una ecuacin.

En sus ltimos papeles, Germain sigui trabajando en el campo de la fsica de curvas elsticas de superficies vibratorias. Escribi igualmente dos obras de filosofa como Penses diverses  y Considrations gnrales sur ltat des sciences et des lettres, recogidas pstumamente en las Oeuvres philosophiques de Sophie Germain, 1879. En la segunda de estas obras filosficas desarrollaba Germain la entonces novedosa y original idea de la unidad del pensamiento, la tesis de que no ha habido ni habr una diferencia bsica entre las ciencias y las humanidades respecto a su motivacin, su metodologa y su importancia cultural.

A peticin de Gauss, una vez revelada su identidad, se le iba a galardonar, por primera vez en la historia, con un doctorado honorario en la universidad de Gttingen. Su temprana muerte impidi que se confirmara este honor.

 

4. Sonya Kovalevsky [18] .

No veo que el sexo de un candidato sea una razn en contra de su admisin. Despus de todo, esto es una universidad y no un establecimiento de baos pblicos .

David Hilbert 

 

  Nacida en Mosc el 15 de enero de 1850, es tambin conocida con el nombre de Sofia Kovalevskaia. Ha sido considerada por algunos historiadores como la mejor matemtica anterior al siglo XX. Hija de un general ruso, Vasily Korvin-Krukovsky y de Yelizateva Shubert, miembros de la nobleza rusa.

Ella misma, en su Recolletions of Chilhood (Recuerdos de infancia) da cuenta de sus primeros aos. Educada con una nodriza inglesa, sus primeros aos transcurrieron en Plabino, el estado de los Krukovsky. Aprendi aritmtica y pudo estudiar con un tutor, para avergonzar a su primo. No era admisible que una nia pudiese adelantar a un joven en esa materia. Se hizo con un libro escrito por el profesor Nicols Tirtov, Elementos de fsica, y, al no poder seguir la trigonometra, la desarroll por su propia cuenta. Creci en un estimulante ambiente intelectual. Lleg a conocer a Dostoievski, Turganev, Chejov y Elliot. Su relato biogrfico acaba a los 14 aos. Por entonces cae en sus manos un libro escolar de su padre sobre el clculo diferencial e integral que signific su introduccin en este mbito matemtico.

De hecho, su inters por las matemticas se despert de forma curiosa mucho antes. Dado que faltaba tapiz para todos los cuartos de la amplia casa de campo que su familia tena en Biolorrusia, una de las habitaciones de los nios fue cubierta con hojas de las conferencias litografiadas de Ostrogradski sobre clculo diferencial e integral. Sonya se pas horas tratando de descifrar las frmulas y el texto [19] .

Su familia se instal en San Petersburgo cuando ella tena 17 aos. Con autorizacin paterna recibi clases particulares de N. Strannolyubsky, profesor de matemticas de la Academia Naval de San Petersburgo, quien inmediatamente reconoci en ella su potencial matemtico. Aos ms tarde, ambos trabajaron juntos para conseguir fondos destinados a Universidades femeninas.

A pesar de sus excelentes resultados no pudo entrar en la Universidad. Su condicin de mujer se lo impeda. En 1861, la Universidad de San Petersburgo haba abierto sus aulas a las mujeres, pero poco despus el gobierno mand cerrar la Universidad ante la agitacin estudiantil. Cuando fueron reabiertas, el privilegio de la educacin de las mujeres haba sido retirado.

Con su hermana Anyuta, formaba parte de un joven movimiento popular que promova la emancipacin de la mujer en Rusia. Una forma de escaparse para estudiar eran los matrimonios de conveniencia. As lo hizo. Se cas con Vladimir Kovalevsky, joven paleontlogo que tena intencin de ir a estudiar a Alemania. En 1869, la pareja viaj a la Universidad de Heidelberg. Ella sigui all los cursos de Kirchhoff, Helmhotz, Koenigsberger y de Du Bois-Reymond, destacando entre sus colegas de estudios. En 1871 puso sus miras en la Universidad de Berln y en el venerado matemtico Karl Weierstrass (1815-1897), mientras su marido emprenda viaje a Jena para obtener su doctorado.

Organiz un encuentro con Weierstrass para pedirle una tutora privada. El clebre matemtico quiso quitrsela de encima dndole una serie de problemas tan difciles de resolver que esperaba no verla nunca ms. No lo consigui. Una semana despus, Sofia estaba de vuelta blandiendo sus soluciones. Se gan el respeto del maestro que encontraba en ella el regalo del genio intuitivo hasta un grado raramente encontrado ni entre los ms antiguos e instruidos estudiantes. Weiestrass ejerci su tutora privadamente durante cuatro aos. Su relacin lleg a ser ms que la de un maestro con su discpula. Fueron colegas y amigos ntimos. Fue l quien consigui permiso, despus de repetidas peticiones, para que Sonya pudiera usar la biblioteca de la Universidad.

En 1874 escribi tres artculos sobre ecuaciones diferenciales parciales, sobre integrales abelianas y sobre la dinmica de los anillos de Saturno [20] . Fue precisamente con este tema con el que se doctor en este mismo ao, convirtindose en la primera mujer que consigui este grado acadmico en la Universidad moderna.

Kovalevskaia estuvo implicada en la causa de la emancipacin de la mujer y en el combate por la libertad de los polacos. No slo eso. Durante la tutora de Weiestrass, y a pesar de sus consejos de moderacin poltica, Sofia march al Pars de la Comuna de 1871. Atendi heridos y enfermos y entabl contacto con los lderes de la ciudad asediada. Los soldados de Bismarck llegaron a disparar contra ella.

Con el doctorado y con las cartas de recomendacin de Weiestrass, pens obtener alguna plaza acadmica en Europa. Regres a Rusia donde se uni con su marido. Tuvieron una hija, Foufie, en 1878. Embarcados en negocios, un amigo nada escrupuloso involucr a su marido Vladimir en psimas especulaciones financieras que le impulsaron a la desgracia y al suicidio en 1883.

Con el apoyo de Gsta Mittag-Leffler consigui un puesto de profesora en la Universidad de Estocolmo. En 1899, se convirti en la primera profesora vitalicia de una Universidad. Nadie antes que ella lo haba conseguido. Sonya se sinti halagada por el reconocimiento que significaba su nombramiento de profesora universitaria, sin dejar de tener dudas:

Nunca he buscado ningn otro puesto, e incluso debo admitir que me sentira menos atemorizada e intimidada si slo me dieran la posibilidad de aplicar mi conocimiento en las ramas ms altas de la educacin. Es posible que as pueda abrir las universidades para las mujeres, lo cual hasta ahora slo ha sido posible como favor especial -un favor que puede ser negado en cualquier momento, como ha ocurrido recientemente en las universidades alemanas .. [21]

 

Fue tambin la primera mujer que ocup el puesto de editora de la revista Acta Mathematica. Sigui completando sus estudios de anlisis e investig el tema de la propagacin de la luz en medios cristalinos. Con su memoria Sobre la rotacin de un cuerpo slido alrededor de un punto fijo [22] , de 1888, consigui el Premio Bordin de la Academia Francesa de Ciencias. Con esta clase de investigaciones logr triunfar tambin en 1889, en un premio otorgado por la Academia Sueca de Ciencias. A finales de este mismo ao fue elegida miembro de la Academia Rusa de Ciencias, empero no logr alcanzar un puesto acadmico en su pas.

Muri poco despus de un resfriado sin aparente importancia contrado en Pars el 10 de febrero de 1891, a los 41 aos. Sucintamente, sus principales aportaciones matemticas fueron :

1. El teorema que lleva hoy el nombre de Cauchy-Kovalevsky, bsico en la teora de las ecuaciones diferenciales parciales. Su trabajo se titulaba Zur Theorie der partiellen Differential-glechungen, Journal fr die reine angewandte Matehmatik, n 80, 1875.

2. Examin el concepto analtico desarrollado en la obra de Legendre, Abel, Jacobi y Weiestrass, que dio pie al trabajo de su segundo doctorado, que llevaba por ttulo ber die Reeduction einer bestimmeten Klasse Abelscher Integrale dritten Ranges auf elliptische Integrale, Acta Mathematica, 4, 1884, 393-414. En su trabajo ganador del Premio Bordin, generaliz los resultados de Euler, Poisson y Lagrande que consideraban dos casos elementales de la rotacin de un cuerpo rgido alrededor de un punto fijo.

3. Sus estudios sobre la dinmica de los anillos de Saturno. De ah que, en 1886, el algebrista ingls Sykvester escribiera un soneto en el que la nombra Musa de los Cielos o que su hermano matemtico, Fritz Lefler, escribiera igualmente un poema en su honor:

Mientras los anillos de Saturno brillan todava

Mientras los mortales respiran

El mundo recordar siempre tu nombre

 

Adems de todo ello, sigui una cierta carrera literaria con la publicacin de The Universitary Lecturer, The Nihilist  (no acabada), The Woman Nihilist y A story of the Riviera. Colabor con la hermana de Mittag-Leffler, Anne Charlotte Leffler-Edgren, en el drama The Struggle for Pappiness, escribiendo adems en solitario un comentario crtico sobre G. Elliot.

 

5. Emmy Noether [23]

No tuve xito, ni tampoco logr nada con un intento de que fuese nombrada miembro de la Academia de Ciencias de Gotinga. Tradicin, prejuicio, consideraciones externas, pesaron en contra de sus mritos y grandeza cientfica, que por entonces nadie negaba. Durante mis aos en Gotinga, 1930-1933, ella fue sin duda el centro de actividad matemtica ms fuerte, considerando tanto la fertilidad de su programa de investigacin cientfica como su influencia sobre un amplio crculo de discpulos.

Hermann Weyl

 

Noether naci en Erlangen, en 1802, hija del matemtico Max Noether, distinguido catedrtico de la Universidad de su ciudad natal. Despus de asistir ocho aos a la Escuela Municipal Superior para Hijas, de Erlangen, Emmy pas con excelentes notas los exmenes para maestros de francs e ingls. Con esta oposicin, se la habilitaba para poder poder dar clases en cualquier institucin femenina.

Noether no se conform con ello. Deseaba seguir estudiando. Tal vez por sus relaciones familiares, pudo estudiar en la Universidad de Erlangen y en la de Gttingen, pero como oyente, ya que en aquellos aos las mujeres seguan siendo personal no-admitido como estudiantes oficiales: el sesudo Senado de la Universidad de Erlangen haba declarado en 1898 que la admisin de mujeres destrozara todo orden acadmico.

Consiguientemente, pudo asistir a clase, pero no pudo examinarse hasta 1903, cuando la Universidad cambi sus estatutos. Obtuvo su doctorado en 1907 por su trabajo Sistemas completos de invariantes para formas ternarias bicuadrticas, con la calificacin de summa cum laude. Paul Goron fue su tutor.

Trabaj en el Instituto Matemtico de Erlangen, sin ningn salario, ayudando a su padre, ya entonces muy mayor y desarrollando sus propios proyectos en el campo de las teora de los invariantes algebraicos. En 1915, se traslad a Gotinga reclamada por Hilbert y Klein, las grandes figuras de aquellos aos de la matemtica en Alemania. Su clebre teorema de 1918 sobre las relaciones entre invarianzas y leyes de conservacin surgi de los intereses de Hilbert por la relatividad general einsteiniana.

El teorema que lleva su nombre -el teorema de Noether- es empleado en mecnica y teora de campos. Pertenece al clculo diferencial y pas inadvertido en su momento. Goza actualmente de enorme prestigio entre los fsicos de partculas [24] . El teorema basa en las propiedades de invariancia de las leyes del lagrangiano de un sistema, bajo la accin de ciertas transformaciones llamadas simetras, las leyes de conservacin a las que obedece dicho sistema, leyes de conservacin llamadas tambin principios porque rigen en todas las leyes de la naturaleza. As, el principio de conservacin de la energa, el principio de la cantidad de movimiento o impulso de los cuerpos o el principio de conservacin del momento cintico.

El principio de conservacin de la energa en mecnica clsica, por ejemplo, enuncia que la energa total, la cintica y potencial de un sistema aislado, de un sistema que no intercambie energa con el exterior, es constante. Otros principios de conservacin son el de la carga elctrica, el del nmero barinico o el del nmero leptnico. De forma general: si al principio de una reaccin se cuentan ciertos nmeros de entidades (cargas, bariones, leptones) al final se encontrarn las mismas cantidades.

El teorema de Noether funda los principios de conservacin en la invariancia formal de las leyes de la fsica. En mecnica un sistema queda descrito por una funcin matemtica que depende de sus coordenadas de posicin y velocidad, as como del tiempo. Esta funcin se llama el lagrangiano del sistema y es igual a la diferencia entre la energa cintica y la potencial. La cuestin es: qu leyes fsicas son vlidas aunque se cambie el sistema de coordenadas efectuando en l unas transformaciones llamadas, muy genricamente, simetras, como las traslaciones o rotaciones?

Este teorema presenta una correspondencia entre cada principio de conservacin de una magnitud fsica (la energa, el impulso, la cantidad de movimiento) y una invariancia formal de las leyes de la fsica. Dicho de otro modo: para toda simetra continua (por ejemplo, una rotacin espacial) del lagrangiano del sistema, hay una magnitud conservada a lo largo de la evolucin del mismo. Las conclusiones ms interesantes se obtienen en el caso de las transformaciones eucldeas, como las espaciales, las rotaciones o las temporales, es decir, en los casos en que la transformacin no deforma los objetos. En estos casos simples, el teorema conduce a los siguientes resultados:

1. Cuando un lagrangiano es invariante simtrico, por traslacin temporal, su expresin formal no cambia al variar la variable tiempo, con lo que la energa total de sistema se conserva durante el movimiento.

2. Si es invariante el sistema por traslacin espacial, la magnitud conservada es el impulso.

3. Cuando es invariante por rotacin, se conserva el momento cintico.

Aqu estn los tres grandes principios de la fsica clsica: el de energa, que se basa en la invariancia del lagrangiano por traslacin temporal; el de conservacin del impulso mecnico, que se basa en la invariancia por traslacin espacial, y el del momento cintico, que se funda en la invariancia por rotacin. Como consecuencia de ello, la conservacin de la energa remite a la constancia de las leyes de la fsica y, consiguientemente, a la uniformidad del tiempo; la conservacin de la cantidad de movimiento, a la universalidad de las leyes fsicas y, finalmente, la conservacin del momento cintico a la isotropa.

A pesar de sus mritos indudables, Noether no consigui ningn puesto acadmico en la Universidad de Gotinga. Ni siquiera pudo pasar la prueba de habilitacin ya que, segn la ordenacin legal de 1908, sta slo poda ser concedida a los candidatos masculinos. Una protesta posterior ante el Ministerio de Cultura hizo que la ley fuese derogada. Cabe remarcar que, segn testimonio de Hermann Weyl, fueron los mismos matemticos e historiadores quienes ms se opusieron a su nombramiento.

Acabada la primera Guerra Mundial, las cosas cambiaron un tanto. Emmy Noether pudo superar en 1919 la ltima prueba para conseguir su habilitacin, que consista en dar una conferencia. A partir de entonces pudo dar clases en la Universidad y recibir parte del dinero que pagaban sus estudiantes. En 1922, recibi un ttulo acadmico que era un mero ttulo sin obligaciones y sin salario. Posteriormente obtuvo un modesto Lehrauftrag (Encargo de Magisterio) para lgebra que llevaba asociado una pequea remuneracin. As permaneci hasta 1933.

Siendo juda, la llegada del nazismo al poder complic an ms su situacin. En abril de este mismo ao, se le retir tanto su venia legendi como su Lehrauftrag y con ello su salario. Con la ayuda de Mawr en Pennsylvania y de Sommerville en Oxford, ambas colegas femeninas, pudo conseguir un trabajo, de un ao acadmico de duracin, en el Bryn Mawr College. En octubre de 1934, se exili a Estados Unidos.

A partir de 1934 empez a dar clases semanales en el Institut for Advanced Study de Princeton, no lejos del Bryn Mawr College, donde se le renov de nuevo su contrato acadmico por un ao. La suerte sin embargo, no la acompa. En 1935, el 14 de abril, nuestro da republicano por excelencia, mora Emmy Noether en el Bryn Mawr Hospital como consecuencia de una operacin que, aparentemente, no representaba peligro alguno.

Adems del teorema que lleva su nombre y que algunos estudiantes y profesores atribuyen inconscientemente a un tal seor Noether, su influencia ha sido determinante en la creacin de lo que ha sido llamado lgebra moderna.

 

6. El viejo fantasma.

Qu les pasa a los hombres, qu les ha pasado desde el principio de los principios en su referencia a las mujeres? Por qu han credo cumplir con ellas slo a base de sus sonrisas de complicidad entre ellos, con sus engaosos paternalismos, con su rgida tozudez interior y su aparente generosidad al concederle siempre los segundos puestos en una historia que se ha hecho, escrito y vivido en comn?

Carmen Alcalde

 

  Parece evidente la discriminacin sexista a lo largo y ancho de la historia de las matemticas. Obsrvese, por otra parte, que las mujeres matemticas de las que hemos hablado tienen un determinado origen social. El padre de Kovalevsky, por ejemplo, era general de Artillera y el padre de Noether era Catedrtico de la Universidad de Erlangen. Si una persona reuna, simultneamente, las condiciones de ser mujer y tener otro origen social, entonces... lo mejor era apagar la luz, soar en la oscuridad y adquirir tintes heroicos. No haba otra posibilidad.

William Dunham pone un excelente ejemplo para dar cuenta de la situacin [25] . Euler tuvo 13 hijos. Con ms exactitud, fue padre de 13 hijos, de los que cinco sobrevivieron. Es obvio que alguien deba alimentarlos, vestirlos, limpiar su ropa y sus paales, cuidarles, etc. La persona que haca todas estas interminables tareas, como la lectora (e incluso el lector) habr imaginado, no fue Euler. La pregunta que parece imponerse es:

Qu hubiera ocurrido si la situacin hubiera sido la opuesta, si el zapato estuviera cambiado de pie? Habran triunfado en matemticas las seoras Euler, Ramanujan o Erds, si sus necesidades diarias hubieran sido resueltas por otra persona? Habran sido famosas estas mujeres si hubieran tenido cantidad de tiempo para dedicarse a la contemplacin matemtica? Nadie lo sabr nunca. Pero apareceran ms mujeres en los anales de las matemticas si hubieran recibido la misma clase de apoyos que estos hombres? Indudablemente.

 

Este ha sido, sin duda, el pasado ms reciente. Qu puede conjeturarse de nuestro presente? Es obvio que muchas de esas barreras han sido derrumbadas. En la mayora de las universidades no se impone a las mujeres el tipo de prohibiciones que se impuso a Germain o a Noether. Los datos, ms bien, apuntan a un cierto optimismo. Dunham seala que en el curso acadmico 1990-1991, las instituciones universitarias norteamericanas concedieron 14.661 ttulos de grado medio en matemticas. De ellos, el 47%, 6.917, eran para mujeres. Esta situacin era prcticamente inimaginable hace 40 aos. Otra cosa sera preguntarse sobre la situacin en otros pases del mundo occidental y en pases de otra situacin geogrfica y con otros esquemas culturales.

En el mismo ao acadmico, en los grados avanzados, de nuevo segn Dunham, los 2/5 de las licenciaturas y 1/5 de los doctorados en ciencias matemticas fueron de mujeres. Con buen tino, el excelente conocedor de Euler seala que, como los futuros investigadores matemticos y profesores universitarios salen de los estudios superiores, de licenciatura y de doctorado, la situacin sigue obviamente desequilibrada

La situacin puede explicarse apelando a razones histricas. Muchas mujeres han aspirado a un puesto de profesoras en la enseanza preuniversitaria Por qu negarse un puesto en la Universidad o en la investigacin punta? Tal vez, apunta Dunham, porque la bajo autoestima fomentada durante siglos y siglos haya dejado y siga dejando huella. Los varones matemticos tienen ms colegas entre el gremio. Una mujer puede encontrarse bastante sola en el, en ocasiones, inhspito mundo acadmico.

Esto en cuanto al tema de la discriminacin sexista. Sobre otros puntos concernientes a la cuestin, como la tpica y repetida argumentacin de que los chicos son ms hbiles que las chicas para las matemticas ya se han publicado numerosos trabajos de inters [26] . Queda el tema del sexismo ya no en cuanto a las posibilidades de acceder a cierto tipo de estudios, sino la discriminacin implcita en el mismo quehacer cientfico. Pierre Thuillier, Evelyn Fox Keller y Brian Easlea [27] , entre muchas y muchos otros, se han referido reiteradamente a esta cuestin.

Hay, empero, otro sexismo ms sibilino que acosa por doquier y ante el cual es bueno mantener la guardia vigilante. Douglas R. Hofstadter, refirindose a los personajes de su inolvidable (y no olvidado) Gdel, Escher, Bach: un Eterno y Grcil Bucle [28] , comentaba la siguiente ancdota:

A medida que iba escribiendo su suite gdeliana-bachiana se fue dando cuenta de que todos los personajes principales que haba usado e inventado para sus dilogos eran masculinos: Zenn, el Cangrejo, El Oso Hormiguero, Sr. Perezoso, Locutor,... Consciente de la situacin, Hofstadter intent construir algn personaje femenino principal, pero le pareca que no haba que hacerlo de forma demasiado artificial. Al final el personaje femenino, buscado y deseado, no fue encontrado.

Preguntndose l mismo por las razones de esa situacin pens que la clave estaba en el ensayo que le haba servido de inspiracin para su libro [29] . Se trataba del dilogo de Lewis Carroll, What the Tortoise said to Achilles [30] , en el que el autor de Alicia a travs del espejo muestra de forma brillante e irnica la imposibilidad de pretender probarlo todo.

Satisfecho de su reflexin, Hofstadter qued tranquilo. Pero, dos aos ms tarde, en la presentacin de su libro, una lectora le interrog por los motivos de la masculinidad de los personajes centrales. Hofstadter, mecnicamente, se dispuso a dar su respuesta: me inspir en el dilogo de Carroll y all los dos personajes son masculinos, Aquiles y el Sr. Tortuga... De golpe un relmpago estall en su mente por qu haba pensado que the Tortoise era un personaje masculino?

Acudi al libro de Carroll y se enfrent a la cruda realidad. El clebre lgico, el autor de las Alicias, no haba asignado sexo alguno al personaje the Tortoise en ningn paso del dilogo. Fue Hofstadter quien presupuso su sexo, convirtindole en el Sr. Tortuga.

La leccin es obvia: estemos vigilantes, el viejo fantasma del sexismo ataca constantemente, presentndose esta vez con redes muy sibilinas que hacen caer en sus trampas malignas al ms pintado de los mortales, incluso a uno de los lgicos contemporneos ms brillantes y, por diferentes motivos, al mismsimo maestro de los que saben. Se trata, en definitiva, de escuchar y de or:

...y se llevaran grandes sorpresas si, modestamente, se sentaran a escuchar sus palabras. Se daran cuenta de que no estamos tan lejos los dos sexos como ellos suponen. Mas, para escuchar hay que dejar de pensar que uno es el rey del Universo. Y al igual que los monarcas slo escuchaban de los bufones aquello que les complaca, la gran mayora de los hombres tienen pavor a or esa nueva palabra que va surgiendo lentamente de los infiernos: la palabra de la muje [31]  

 

Anexo 1: Anatoma de un asesinato .
Maria Dzielska, Hipatia de Alejandra. Madrid, Siruela 2004. Traduccin de Jos Luis Lpez Muoz, 159 pginas .
 
No es sorprendente la ausencia de fuentes primarias sobre la vida y muerte de Hipatia. Son escasas y en general indirectas. Es probable que el esoterismo de sus enseanzas, cultivado por sus discpulos, sea un motivo que no debamos olvidar pero, seguramente, la razn bsica es que ya en el siglo V los historiadores cristianos han conseguido primaca y que se avergencen de escribir sobre la suerte de Hipatia. O peor: que participen tambin ellos en el encubrimiento y proteccin de los perpetradores, relacionados con la Iglesia , de un cruel asesinato
Dzielska explica en su nota de agradecimiento de dnde surgi la idea de su ensayo: mientras investigaba la vida y obra de Sinesio de Cirene, discpulo de la matemtica alejandrina, la lectura de sus cartas le llen de admiracin por el alma y la inteligencia de Hipatia y sinti la necesidad de saber ms sobre aquella mujer extraordinaria, erudita y filsofa de Alejandra, cuya vida y personalidad espiritual han despertado inters durante muchos siglos. La autora seala que, mucho antes de los primeros intentos acadmicos por reconstruir una imagen fiel de Hipatia, su vida haba quedado marcada por una leyenda embellecida artsticamente, distorsionada por comprensibles emociones y prejuicios ideolgicos, que ha disfrutado de una amplia popularidad durante siglos y que, en sus ejes bsicos, poda resumirse del modo siguiente: Hipatia fue una filsofa y matemtica pagana, joven y hermosa, que en el ao 415 de n. e. fue despedazada, descuartizada, por monjes o, ms en general, por fanticos cristianos en Alejandra dirigidos a corta distancia por el obispo Cirilo (quien, posteriormente, fue designado por la iglesia romana como Santo varn). El asesinato reclama una severa respuesta de los representantes de la justicia. pero nunca se produce. Quienes cometieron el abyecto crimen siguieron impunes.
Esta usual mirada, seala Dzielska, no est basada en fuentes de la poca sino en una gran cantidad de documentos literarios e histricos la mayora de los cuales presentan a Hipatia como vctima inocente del naciente fanatismo cristiano y su asesinato como seal de la desaparicin, junto con los dioses griegos, de la libertad de investigacin (p. 15). La tendencia dominante en la leyenda, la corriente ilustrada o racional, contra la que la autora argumenta o matiza, la presenta como vctima inocente de una nueva religin, fantica y rapaz. Hipatia se ha convertido con ello en smbolo tanto de la libertad sexual como del declinar del paganismo, y de la desaparicin del libre pensamiento, de la razn natural y de la libertad de investigacin. Dzielska estudia gran parte de estos documentos en el primer captulo de su ensayo: La leyenda literaria de Hipatia. Seala aqu que Hipatia aparece por vez primera en la literatura europea en el siglo XVIII, en la poca de escepticismo (sic) que se conoce histricamente como la Ilustracin , momento en el cual diferentes escritores la utilizan como instrumento en sus polmicas religiosas y filosficas. John Toland, en 1720, fue el primero de esos autores. Su ensayo caus una gran incomodidad en crculos eclesisticos y provoc la rplica de Thomas Lewis en un folleto de inolvidable titulado La historia de Hipatia, una desvergonzadsima maestra de Alejandra. En defensa de San Cirilo y del clero de Alejandra contra las acusaciones del seor Toland. El mismo Voltaire intervino, en el mismo sentido que Toland, con un ensayo sobre Cirilo y el clero de Alejandra, y volvi sobre Hipatia en su Diccionario filosfico.
Las tesis centrales defendidas por la autora sealan en la misma direccin que la sealada por Crawford, ya en 1901, o por Rist., mucho despus: la causa del asesinato fue ms poltica que religiosa o filosfica. La plebe cristiana imagin que la influencia de Hipatia enconaba el conflicto entre Iglesia y Estado y pens que, si se la haca desaparecer, sera posible una reconciliacin. Hipatia fue asesinada, pues, no como enemiga de la nueva fe cristiana, sino como supuesto obstculo para la comodidad terrenal.
Las conclusiones propias de la autora, expuestas en el ltimo captulo de su estudio (pp. 113-118), pueden resumirse del modo siguiente:
1. Hipatia nace en 355 y no en 370. Cuando muere en 415, tiene ya unos sesenta aos. No existe apoyo legtimo para describirla, como se ha hecho, a la hora de su espantosa muerte, como mujer joven y hermosa, capaz de provocar el sadismo y la lujuria de sus asesinos.
2. Hija de Teon, se sabe por Hesiquio de Mileto que mientras su padre escriba comentarios sobre Euclides y Tolomeo, Hipatia se ocupaba de las obras de Apolonio de Prgamo, de Diofanto y de Tolomeo. Se ha supuesto siempre que sus estudios de estos autores no haba sobrevivido pero es probable que las ediciones del Almagesto de Tolomeo y de las Tablas hayan sido ordenadas y preparadas por ella.
3. Hipatia cre en tono a ella una comunidad filosfica basada en el sistema platnico de las Ideas y en lazos interpersonales. Sus discpulos -Sinesio, entre ellos- llaman misterios a los conocimientos que les trasmite su gua divina. Los mantienen secretos, negndose a compartirlos con personas de rango social inferior a los que consideran incapaces de comprender cuestiones divinas y csmicas.
4. Hipatia posee gran autoridad moral. Todas las fuentes concuerdan en que es un modelo de rectitud, veracidad, dedicacin cvica y proezas intelectuales. El poder eclesistico se da cuenta que se enfrenta con una persona de gran experiencia, dotada de autoridad moral, que gracias a sus discpulos puede conseguir apoyo para el prefecto Orestes -que sigue resistiendo los intentos de Cirilo de reducir el campo de accin del poder civil- entre personas prximas al Emperador. Su suerte est echada: los colaboradores de Cirilo lanzan rumores acerca de los estudios de Hipatia relacionados con la magia, con el hechizo satnico sobre el prefecto, sobre el pueblo de Dios y la ciudad de Alejandra en su conjunto. Personas al servicio de Cirilo, el santo, despedazarn (literalmente) a Hipatia.
La autora, que es catedrtica de historia romana antigua en la Universidad Jagelnica de Cracovia, critica reiteradamente la visin ilustrada del asesinato de Hipatia por ideolgica y poco documentada. Pero sus precisiones, de indudable rigor histrico, no modifican el ncleo central del asunto: Hipatia fue descuartizada por una muchedumbre fantica dirigida a corta distancia por un obispo cristiano. Adems, como es sabido, en las discusiones culturales no slo marca el terreno uno mismo sino tambin las posiciones de los contrarios. En todo caso, no es difcil aceptar que los marcos ideolgicos o religiosos encubran intereses mucho ms terrenales. Tampoco hay que olvidar que el neoplatonismo de Hipatia, el origen social de los miembros de su comunidad, su distancia de la muchedumbre, fueran fcilmente manipulables. Por otra parte, y como nota marginal, la autora crtica, con razn, estpidas y poco cuidadas afirmaciones de Voltaire, pero extraamente cae ella misma cae en enunciados de escasa relevancia y de difcil comprobacin cuando seala, por ejemplo, que la abstinencia sexual aconsejada por Hipatia la mantuvo virgen hasta el final de su vida. Sin entrar en el uso del trmino, es posible aconsejar sin practicar y, desde luego, es posible amar de formas diversas.
Las notas del estudio (pp. 131-153) son de lectura obligada.
 

Anexo 2: Mujeres de ciencia

Mara Jos Casado Ruiz de Lizaga, Las damas del laboratorio. Mujeres cientficas en la historia. Debate, Madrid, 2006, 293 pginas. Prlogo de Margarita Salas.

 

Dava Sobel, Los planetas. Anagrama, Barcelona, 2006, traduccin de Jaime Zulaika, 221 pginas.

 

La mayora de los estudiantes de Ciencias Fsicas de la Universidad de Barcelona de inicios de los setenta, incluidas probablemente las mismas estudiantes, dudbamos frecuentemente, a pesar de la inestimable ayuda del joven profesor Wagensberg, de nuestro grado de comprensin de l teorema de Noether -un resultado central en fsica terica que afirma que a cada simetra continua le corresponde una ley de conservacin fsica y viceversa-, pero no tenamos, en cambio, duda alguna de que el teorema deba su nombre a algn Herrn Noether que lo haba descubierto en fecha desconocida. No caba imaginarnos que su autor, el descubridor de un resultado bsico de la big science, de uno de los temas punteros de las ciencias fsicas, fuera mujer, fuese cientfica y que su nombre fuera Emmy Noether, una matemtica alemana de origen judo que realiz sus investigaciones en las primeras dcadas del siglo XX y que mediante su primera especializacin en invariantes algebraicos consigui demostrar algunos teoremas esenciales para la teora de la relatividad que permitieron resolver entre otros el problema de la conservacin de la energa.

Probablemente la situacin sea muy distinta 30 aos despus y la mayor parte de estudiantes de ciencias fsicas conoce que el teorema referenciado est en el haber de Frau Noether, no de Herrn Noether. Pero acaso aun queden restos de aquel naufragio cultural tan persistente, de aquellos prejuicios tan asentados. Mara Jos Casado Ruiz de Lizaga, con Las damas del laboratorio. Mujeres cientficas en la historia, a pesar de haber decidido no dedicar ningn captulo especfico a la eminente fsica alemana, pretende ayudar a superar de una vez por todas esta situacin de olvido del papel que muchas mujeres, con dificultades casi inimaginables, y desde luego totalmente inadmisibles, han jugado en la historia de las ciencias. A ttulo de simple ejemplificacin: si no ando errado, a primera mujer doctora en ciencias fue Sonia Kovaleskaya, en 1874, con una tesis Sobre la teora de las ecuaciones en derivadas parciales, conocida actualmente como teorema Cauchy-Kovalevsky. Nadie antes de ella; finales del XIX.

Aunque no todas las cientficas que en figuran en el volumen trabajaran o investigaran en laboratorios cientficos, Las damas del laboratorio se centra en la vida y obra de diez importantes cientficas: Hipatia, milie de Breteuil, Mara Andrea Casamayor y de la Coma , la nica cientfica espaola incorporada, Mary Somerville, Ada Byron, Sonia Kovaleskaya, Marie Curie, Lise Meitner, Rosalind Franklin y Mary Douglas Leakey. Una sucinta presentacin de sus principales aportaciones puede verse en las pginas 26-30 de la introduccin.

La bioqumica Margarita Salas, una de nuestras actuales y ms reconocidas cientficas, seala en el entusiasta y generoso prlogo que ha escrito para la obra que son muchas las mujeres, an hoy desconocidas, que han desempeado un papel relevante en la ciencia, y la referencia a estas mujeres, que tomaron parte en el desarrollo de numerosos especialidades cientficas o mdicas, data de hace unos cuatro mil aos. Pero en la mayora de los casos han sido mujeres invisibles, mujeres desconocidas (p. 13). Las damas del laboratorio es un ensayo que, sin aportar nuevos descubrimientos en el mbito de la historia de la ciencia, incluso manteniendo alguna conjeturas historiogrficas de alta y discutible tensin, pretende dar a conocer a un pblico amplio las vidas y aportaciones bsicas de estas an, e injustamente, desconocidas mujeres de ciencia. Lo hace en general de forma correcta, documentada, abusando en alguna copia de copiar y pegar, usando la bibliografa esencial y conocida de o sobre las autoras estudiadas, si bien en algn caso el detalle biogrfico central o secundario (en los captulos dedicados a Ada Byron y Sonia Kovaleskaya, por ejemplo) es en mi opinin excesivo y poco interesante y alguna referencia a las caractersticas fsicas de la biografiada son prescindibles por inesenciales. Por lo dems, las referencias al contexto social y a las posiciones polticas algunas biografiadas podan haberse detallado algo ms y con algo menos de prudencia cultural. As, dicho sea desde luego en honor de John Desmond Bernal, es algo tpica este aproximacin: Rosalind [Franklin] admira a Bernal por su inteligencia y talento como investigador, aunque no comparta sus ideas de comunista militante. Por otra parte, Bernal no discriminaba a las mujeres, reconoca su trabajo y a su lado podan trabajar y promocionarse (p. 225).

Pero no slo hay historiadores o periodistas cientficas que vindican su historia por motivos justificadsimos y con razones muy atendibles sino que hay adems mujeres que juegan un papel bsico en la creacin y en la divulgacin de la ciencia contempornea. ste segundo caso es el caso de Dava Sobel.

Sobel no es slo la autora de Longitud o de La hija de Galileo, no slo ha sido una reconocida periodista cientfica del New York Times, galardonada con el prestigioso Public Service Award del National Science Board, sino que en junio de 2006 alcanz un privilegio por el que muchos hubiramos peregrinado tenazmente a las tumbas de Bruno, Galileo o Servet: Sobel fue el nico miembro no cientfico elegido para formar parte del Comit de Definicin de los Planetas de la Unin Astronmica Internacional (UAI). El relato de su participacin (pgs. 185-187), y de lo all discutido, es magnifico sin matices y es una excelente manera de empezar a degustar este precioso ensayo centrado adems, un tema de rabiosa actualidad porque su actualidad es eterna: la nave Cassini ha enviado recientemente informaciones que han permitido a los cientficos (y cientficas) sealar que en una de las lunas del planeta de los anillos, en Titn concretamente, de relieve accidentado y temperaturas medias muy fras (-180oC), existen lagunas probablemente de metano lquido y all debe haber lluvias torrenciales y tormentas. Christophe Sotin (Nantes, Francia) lo ha resumido as: Por lo que sabemos, slo hay un cuerpo del sistema planetario que muestre ms dinamismo que Titn y su nombre es la Tierra .

Los planetas est estructurado en doce captulos, dedicados cada uno de ellos, aparte de la introduccin, a los planetas de nuestro sistema solar, incluyendo en este debatido trmino no slo a la Tierra (Geografa) sino tambin la Luna (Luneras), el Sol (Gnesis) y, claro est, Plutn (OVNI), que sigue siendo un planeta del sistema a pesar de la reciente discusin y las vacilaciones sobre los atributos del trmino (y a pesar, y quizs esto es lo peor, de que el oportunista y agente de la CIA Walt Disney se apoderara de su nombre para nombrar Pluto, el perro de la historieta cmica que present en 1936, el ao de nuestra incivil guerra).

La exquisitez e informacin cientfica, popular, potica, narrativa, con la que est escrito todo el volumen seala otra va de superacin de aquel viejo y reconocido divorcio entre las dos culturas: no se trata slo de aceptar de una vez por todas una evidencia tan elemental como que intentar ser culto, e intentar saber a qu atenerse, pasa tambin por adquirir una informacin cientfica bsica, sino que es posible divulgar, instruir en temas cientficas, de forma enormemente atractiva, con pulsin artstica, sin perder rigor. Los planetas no slo es un relato que permite acercarse a un tema cientfico como ste, presente en la filosofa, en la cultura humana desde siempre, sino que es, adems, una narracin elegante (con excelente traduccin), bien trabada, muy pensada, que ilustra, agrada y conmueve a los lectores y donde se usan magistralmente diversos recursos literarios, con algn ligero exceso para mi gusto como en el caso de los numerosos poemas seleccionados.

Adems del glosario, algo sucinto, la autora ha tenido la gentileza de incluir un apartado de Curiosidades. No se lo pierdan. All podrn leer, entre otras, la siguiente ancdota: Durante la Segunda Guerra Mundial, una escuadrilla de pilotos de B-29 confundi el planeta [Venus] con un avin japons y trat de derribarlo (p. 200). A Venus!. Afortunadamente, en aquel intento, no lo consiguieron.

 

Anexo 3: En honor del espritu humano y al servicio de otros asuntos

Antonio Martinn (editor-coordinador), Las matemticas del siglo XX. Una mirada en 101 artculos (M XX). Nivola libros y ediciones y Sociedad canaria Isaac Newton de profesores de matemticas, Madrid 2000, 524 pginas.

 

En 1947, en un clebre artculo titulado El futuro de las matemticas, Andr Weil, hermano de Simone Weil, probablemente en un platnico da de huida celeste, apuntaba lo siguiente en torno al hacer matemtico:

El matemtico seguir su camino en la seguridad de que podr saciar su sed en las mismas fuentes del conocimiento, convencido de que stas no cesarn de fluir, puras y abundantes, mientras que los dems habrn de recurrir a las aguas cenagosas de una srdida realidad. Si se le reprochase al matemtico la soberbia de su actitud, si se le reclamase su colaboracin, si se le demandase porqu se recluye en los altos glaciares a los que nadie salvo los de su clase le puede seguir, l contestara, con Jacobi: Por el honor del espritu humano

.

Sin duda, Weil, Andr, tena sus buenas razones para esta afirmacin netamente espiritualista, pero no hay duda de que la matemtica del siglo XX (o, si se prefiere, algunos matemticos y sus quehaceres) ha descendido en frecuentes ocasiones del inmutable tercer y celeste mundo platnico-popperiano al terranal mundo de los fenmenos cambiantes y humanizados. M XX da cuenta de muchos de los momentos bsicos, o no tan bsicos, de la historia de la matemtica de este pasado, cercano y neoliberal siglo. Lo hace a partir de 101 artculos de una extensin media de cinco pginas, escritos por 106 autores: desde matemticos e historiadores de la talla de Jess Hernndez hasta filsofos o lgicos tan slidos y competentes como Luis Vega Ren.

Antonio Martinn, editor y colaborador del volumen, resume el contenido de M XX en su breve prlogo (pp. 9-10):No se trata de una historia de las matemticas y de su educacin durante el siglo XX, pues no se ha pretendido describir el nacimiento y evolucin de sus numerosas ramas, ni hacer la crnica de la evolucin de su enseanza, como tampoco referir de modo exhaustivo sus aplicaciones. S se ha querido mostrar lo que han sido a travs de una amplia variedad de ttulos y autores. Es decir, en estas pginas hay de todo aunque, desde luego, no est todo.

El destinatario de M XX es pues un pblico amplio formado, en su nudo central, por profesores y estudiantes de ciencias matemticas (y afines) pero, tambin, por quienes son simplemente aficionados o personas con inters por esta ciencia. De ah que se haya intentado ofrecer una primera aproximacin a los asuntos de los que aqu se trata, mediante artculos breves de carcter divulgativo.

Es cierto que no siempre el tono de los trabajos es estrictamente divulgativo, pero no hay duda de que los temas tratados son variados: desde artculos centrados en los fundamentos de la matemtica hasta biografas de grandes autores (Alan Turing, D. Hilbert, Julio Rey Pastor) o asuntos relativos a la didctica de esta disciplina, pasando por desarrollos recientes de esta ciencia.

Este ha sido, posiblemente, el siglo de las matemticas (como casi todos los otros siglos, por cierto). Empez con la propuesta de Hilbert y ha finalizado con uno de los descubrimientos que, desde luego, honran al espritu humano: la demostracin del ltimo teorema de Fermat despus de casi cuatro siglos de trabajo constante, minucioso y tenaz, que parecen poner en dificultades, como mnimo en el mbito matemtico, la tesis popperiana de la falsacin, que no revolucin, permanente como motor verdadero del hacer cientfico.

Un breve apunte sobre Fermat y su teorema. Cuando uno observa el papiro de Rhind en el museo Britnico, topa con que ya los antiguos egipcios conocan ternas de nmeros que nosotros llamamos pitagricos, nmeros que como el 3, el 4 y el 5, tienen la caracterstica de que la suma del cuadrado del primero ms el cuadrado del segundo es igual al cuadrado del tercero. Cuntas ternas de este tipo existen? Infinitas. Existe un algoritmo que va produciendo tantas ternas como deseemos. Y qu ocurre cuando en lugar de hablar del cuadrado, pensamos en el cubo, en la cuarta potencia o en cualquier otro exponente mayor? Existen ternas que mantengan esa igualdad Cuntas? El abogado y matemtico aficionado Pierre de Fermat en los inicios del siglo XVII dijo haber descubierto un teorema maravilloso sobre este asunto: no existe ninguna terna de nmeros enteros que tengan la propiedad de que el cubo (o cualquier otro exponente entero superior a 2) del primero ms el cubo del segundo sumen igual que el cubo de tercer elemento de la terna. Fermat dijo haber dado con la demostracin pero adverta que no tena espacio en el libro donde escribi la anotacin ( la Aritmtica , de Diofanto) para desarrollarla. No se ha encontrado tal demostracin y durante casi cuatro siglos los matemticos (y las matemticas: recurdese el caso de Sophie Germain) han intentado demostrar la conjetura fermatiana. El siglo XX se ha cerrado con la demostracin del teorema por Andrew Wiles, quien ha descrito del modo siguiente la atmsfera de la investigacin matemtica: Mi experiencia al hacer matemticas es la de entrar en una mansin a oscuras. Entras en la primera habitacin y est a oscuras, completamente a oscuras. Tropiezas con los muebles, te tambaleas. Poco a poco aprendes donde est cada mueble. Y finalmente, tras unos seis meses, encuentras el interruptor y das la luz. De repente todo se ilumina y puedes ver donde ests exactamente. Entonces entras en la siguiente habitacin a oscuras...

Pero no todas las contribuciones, digmoslo as, son estrictamente internalistas en el volumen que comentamos. El trabajo del filsofo, lgico y coeditor de los Elementos Luis Vega, que lleva por ttulo La bomba atmica, se inicia con buscados tonos bblicos: Si hay un acontecimiento que ha impactado la conciencia humana en el siglo XX de un modo transcendental han sido las explosiones de las llamadas bombas atmicas. El seis de agosto de 1945 la humanidad comprendi el alcance de la profeca del segundo jinete del Apocalipsis. El segundo sello se haba abierto y la humanidad vio el resplandor del fin del mundo. A los 200.000 muertos directos de Hiroshima hay que sumar los 70.000 de Nagasaki. Pero, prosigue Vega, en realidad, hubo suerte: el primer objetivo pensado por los norteamericanos era Kyoto, donde los daos en una ciudad de ms de un milln de habitantes hubieran sido mucho mayores. Vega apunta que finalizado el milenio no parece que el conocimiento bsico de la tragedia y de los futuribles desastres impregnen la conciencia social y concluye su breve pero excelente aportacin de forma ilustrada y limpiamente antipostmodernista: Es este conocimiento de la dimensin del problema el que debe, hoy, llevar a los cientficos a encabezar movimientos destinados a hacer comprender a toda la poblacin del planeta la actual situacin. La ciencia, que ha demostrado sobradamente no ser un lujo cultural, no puede dejar de responsabilizarse de las consecuencias de sus actos. Y si, como dice la declaracin fundacional de la UNESCO , la guerra surge de la conciencia de los hombres, es la educacin en el horror nuclear el instrumento con el que debemos construir los baluartes de la Paz .

En definitiva, estamos ante un excelente y variado volumen de cultura y divulgacin matemtica, acompaado adems de excelentes ilustraciones (aunque no siempre, la de la pgina 94, por ejemplo, es simple y llana publicidad), con un cierto desorden ordenado que ayudar a las aproximaciones intermitentes del lector y con algunas intersecciones no vacas entre los diferentes trabajos que facilitarn, sin duda, la tarea si no del hroe como mnimo del lector tenaz.

El lector critico que merece este M XX puede apuntar que siglo no es tempo en matemticas (ni, por otra parte, en muchos aspectos del saber y de la vida humana (o no humana)), pero no hay atisbo de incertidumbre que esta ha sido una de las centurias de las matemticas. Por cierto, algunos de los problemas propuestos por Hilbert an no han sido resuelto. Uno de ellos es la conjetura de Goldbach. Su enunciacin es simple: todo nmero par es suma de dos nmeros primos. As, 24 es suma de 7 y 17. Nadie hasta ahora ha podido probarlo y todos los ejemplos parecen responder a la tesis del teorema. Hay premios sustanciosos. As pues: nimo, mucho nimo, y a por el Gold- bach!

 

Anexo 4: Del alma y sus nmeros.

 

Pedro Miguel Gonzlez Urbaneja, Pitgoras: el filsofo del nmero. Nivola Libros y ediciones, Madrid 2001, pginas 246.

 

En el ao en que concelebramos el primer centenario del nacimiento de John Desmond Bernal, el inolvidable autor de Historia social de la ciencia, no estar dems recordar las palabras que el eminente cientfico marxista ingls dedic al descubridor del ms clebre teorema matemtico de todos los tiempos: Independientemente de que Pitgoras fuera un pensador o un mero transmisor, lo cierto es que la relacin establecida por su escuela, entre las matemticas, la ciencia y la filosofa, no se ha perdido nunca, afirmacin que el mismsimo Bertrand Russell pareca corroborar en su Historia de la filosofa occidental de la forma siguiente: No conozco ningn otro hombre que haya tenido mayor influencia en el campo del pensamiento, porque lo que aparece como platonismo resulta, despus de analizarlo, esencialmente pitagorismo.

Hay pues motivos varios para aproximarse, siempre que sea posible, a la obra y vida de Pitgoras de Samos, uno de los ms grandes filsofos presocrticos e inspirador o maestro de autores de la talla de Platn o Galileo, adems de acuador l mismo del trmino filosofa, entendido como permanente (o ininterrumpida, si se prefiere) aspiracin al saber, a todo tipo de saber, no slo y desde luego a saber sobre el propio gremio filosfico.

El autor de este Pitgoras: el filsofo del nmero (P) es Pedro Miguel Gonzlez Urbaneja (GU), un excelente profesor de matemticas y un no menos competente historiador de las matemticas de cuyo buen hacer tenamos muestras reiteradas en sus aproximaciones al mtodo de los teoremas mecnicos de Arqumedes o en su excelente ensayo sobre Las races del clculo infinitesimal en el siglo XVII (Madrid, 1992).

P. est compuesto de un prlogo de Antonio Prez Sanz, alma de esta coleccin dedicada a la biografa intelectual de grandes matemticos, y de ocho captulos, ms una breve cronologa y una bibliografa sucinta. El primero de los captulos nos introduce en el llamado milagro griego; el segundo traza una interesante biografa de Pitgoras y de la escuela-secta pitagrica, con especial atencin a los Versos de Oro y a la teora de la metempsicosis; el captulo siguiente versa sobre el misticismo aritmtico-geomtrico de la escuela, dando detallada cuenta de los atributos de los elementos de la tetractys y de la clasificacin pitagrica de los nmeros; el cuarto captulo narra con detalle el descubrimiento y la demostracin del teorema llamado de Pitgoras, con excelentes y documentadas alusiones a la historia del mismo y a su desarrollo previo y posterior en otras culturas; el captulo quinto est dedicado a la divina proporcin o seccin urea y al pentagrama pitagrico; el sexto, tal vez el que presente mayor dificultad de lectura para el lector no matemtico, se centra en el importante asunto del surgimiento de las magnitudes inconmensurables; el siguiente captulo nos acerca de forma excelente a la construccin y propiedades de los slidos pitagrico-platnicos (proposicin 18 del libro XIII de los Elementos de Euclides) y, finalmente, el ltimo captulo est dedicado al legado de Pitgoras y a la vigencia actual del pitagorismo.

Tal vez la principal virtud de este P. est en el cuidado exquisito con que GU, a lo largo de todas las pginas del volumen, intenta, con resultados innegables, no perder al lector por tecnicismos matemticos, sin que ello le impida dar cuenta de resultados y de demostraciones rigurosas. No es slo eso. Sin duda hay muchos captulos o apartados que merecen ser destacados. Por ejemplo, las excelentes pginas dedicadas a la relacin entre pitagorismo y cristianismo (pp.72-75), la rigurosa y didctica aproximacin a los nmeros perfectos y amigos (pp.103-110) o los no menos admirables apartados dedicados a los nmeros poligonales (pp.111-128), a la msica pitagrica o a la primera crisis de fundamentos en la historia de la matemtica (pp.205-208).

Si se me pidiera un sola eleccin recomendara, sin duda, iniciar la lectura del lbro por las pginas dedicadas a la cosmologa pitagrica (pp.143-148), donde GU da cuenta de forma clara, distinta, didctica y bella del apriorismo matemtico pitagrico. Pero cabe, igualmente, sealar algunos puntos para la discusin:

1. En primer lugar, no parece que siempre las formulaciones filosficas e histricas del autor tengan una precisin indiscutible. As, al dar cuenta del llamado milagro griego, comenta que El espritu oriental, confuso y desordenado, dar paso a la ordenacin lgica del conocimiento... (p.19), a qu unidad de pensamiento (oriental) se refiere el autor? por qu confuso y desordenado? Todo l?. O, por poner otro ejemplo menor, al referirse al Organon aristotlico, GU, extraamente, suele usar la denominacin Lgica, acompaada, entre parntesis, de Analticas.

2. GU cae, en contadsimas ocasiones sin duda, en tpicos superables. As, hablando de la escuela-secta, escribe que Los pitagricos se regan por un cdigo de conducta muy estricto que inclua la comunidad de bienes (comunismo integral) y un severo rgimen fsico y gastronmico.... Por qu llamar al aspecto comunitario de la escuela de comunismo integral? Cmo puede caracterizarse a este extrao invitado?

3. Cuestin menor, sin duda, pero parece una clara contradiccin lo sealado por el presentador del volumen (Antonio Prez Sanz): (...) Y casi mil aos antes de que Samos viera los primeros pasos de Pitgoras, los chinos ya haban demostrado su teorema (p.12) y lo apuntado reiteradamente por el autor: no ha habido demostracin del teorema previa a la que plausiblemente atribuimos a Pitgoras. An ms: (...) dando el gran salto cualitativo que iba a suponer el verdadero nacimiento en Grecia de las matemticas como ciencia especulativa y deductiva, ms all de las prctica emprica e inductiva de las civilizaciones del prximo, medio y lejano oriente (p. 24). As pues no hay prueba previa del teorema dado que la misma idea de demostracin, en alguno de sus mltiples sentidos, parece ser uno de los resultados del milagro griego. Otra cosa es que civilizaciones distintas y en pocas anteriores, tuvieran conocimiento de resultados parciales o de casos concretos del teorema.

4. La bibliografa tiene algunas ausencias notables que prueban lo escasamente productivo de la incomunicacin entre gremios. As, el autor no cita, por ejemplo, el interesante y bastante reciente estudio de Gmez Pin sobre La tentacin pitagrica, o el inolvidable estudio de Albert Dou sobre Fundamentos de la matemtica o sobre los paralogismos de Euclides.

Igualmente se hubiera agradecido la indicacin de referencias. La inexistencia de notas a pie de pgina, tal vez no decidida por el propio autor, impide o dificulta la contrastacin de algunos de los textos citados.

5. Los libros de la coleccin La matemtica en sus personajes, donde hay autnticas joyas (William Dunham, Euler. El maestro de todos los matemticos) y diamantes de menor entidad, presentan, en mi opinin, una estructura grfico-anotacional que tal vez pretenda ser cautivadora y didctica pero que, de hecho, dificulta un tanto la lectura atenta. Los volmenes estn llenos, repletos casi, de fotografas, reproducciones, esquemas y anotaciones (algunas de ellas, absolutamente insustanciales e inexactas -la dedicada a Platn, por ejemplo, p.26) que no slo distraen permanentemente al lector, sino que, adems, no se sabe muy bien qu aportan al texto principal ni incluso quin es el autor de las mismas. El maestro Quine coment crticamente la existencia de ensayos bidimensionales en los que las notas a pie de pgina abarcaban ms que el texto principal. Nos imaginamos qu hubiera podido decir de una edicin de este formato! As, entre las pginas 25 y 36, pueden verse ocho ejemplos de estas peligrosas compaas. Se aconseja pues al lector que, tal Ulises encadenado, huya de esas sirenas que, adems, presentan ocasionalmente una voz algo estridente.

Cabe recomendar sin duda la lectura de este P. para lectores con inclinaciones filosficas o cientficas, y, finalmente, destacar la, sin duda, exquisita honradez intelectual del autor. No es frecuente en estos parajes del intelecto que alguien tenga la grandeza y la modestia de advertir, agradeciendo las ayudas, que la heterognea dimensin lingstica del material bibliogrfico consultado y mi insuficiente poliglota me ha obligado a pedir auxilio a personas que con toda generosidad me lo han prestado... (p. 18). Modestia y agradecimiento que, sugerimos, podra aadirse a las reglas de Oro del neopitagorismo actual.

 

 



[1] Aristteles, Poltica. Editora Nacional, Madrid 1977.

[2] Wlliam Dunham, El mundo de las matemticas. Editorial Pirmide, Madrid 1995, p. 389

[3] Morris Kline, El pensamiento matemtico de la antigedad hasta nuestros das, vol I, Alianza Universidad, Madrid, 1992, pp.179 y 246; Carl Sagan, Cosmos,  Planeta, Barcelona, 1980, pp.19 y 335-336 y Gillispie, Dictionary of Scientific Biography, vol. VI, pp.615-616, artculo firmado por Edna E. Kramer. Igualmente puede consultarse el excelente trabajo de A. W .Richeson, Hypatia of Alexandria, National Mathematics Magazine, 15, n 2, nov. 1940, pp.74-82. Vase, igualmente, anexo 1.

[4] Sobre las matemticas griegas, puede verse el anexo 4.

[5] Vase anexo 1.

[6] La informacin sobre la muerte de Hipatia est descrita en la obra de Scrates el Escolstico, historiador cristiano del siglo V. Vase Margaret Alic, El legado de Hipatia. Historia de las mujeres en la ciencia desde la Antigedad hasta fines del siglo XIX, Siglo XXI, Mxico, 1991, p. 62.

[7] Para una mayor informacin, vase anexo 2.

[8] Wlliam Dunham, Viaje a travs de los genios, Editorial Pirmide, Madrid, 1992, pp.306-308 y Gillispie, Dictionary of Scientific Biography, vol V, pp.375-376. El artculo est firmado por Edna E. Kramer. Puede consultarse igualmente la excelente aproximacim de H. Stupuy, Notice sur la vie et les oeuvre de Sophie Germain, en Oeuvres philosophiques de Sophie Germain, Pars, 1879, pp. 1-92.

[9] Sobre el alcance del pensamiento matemtico, v ese el anexo 3.

[10] Pierre de Fermat, abogado y matemtico francs, coetneo de Descartes, consign al margen de la Aritmtica   de Diofanto la famosa enunciacin de su clebre teorema: Cubum autem in dues cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratosqudratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere, cujus rei demonstrationem mirabilem sane etexi. Hancs marinis exiguitis non caperet (Un cubo no es nunca la suma de dos cubos, una potencia cuarta no es nunca la suma de dos potencias cuartas, y ms generalmente, ninguna potencia superior a dos es suma de dos potencias anlogas. De esta proposicin he encontrado una semostracin maravillosa, que no cabe en la estrechez de este margen). Fermat hizo numerosas anotaciones marginales en su ejemplar de la obra de Diofanto, en traduccin latina de C. G. Bachet. Tras su muerte en 1665, su hijo public una segunda edicin de la traduccin de Bachet que inclua en un apndice las notas marginales de Fermat, El libro de Diofanto se tradujo con el ttulo Seis libos de aritmtica y un libro sobre nmeros poligonales, por Diofanto de Alejandra con comentarios del distinguido caballero Bechat y observaciones del Seor P. de Fermat, Senador de Tolosa y un nuevo descubrimiento de Doctrina Analtica, recopilada de diveras cartas del mismo seor de Fermat

[11] Es fcil demostrar que si para un cierto n, por ejemplo el 13, no hay solucin, es decir, no hay x, y, z que cumplan que la suma de la ensima potencia de x ms la ensima potencia de y sea igual a la ensima potencia de z, entonces para todo mltiplo de 13, tampoco hay solucin. De esta forma el teorema de Fermat se demostrara probndolo para n igual a 4 y para n igual a cualquier nmero primo, ya que todo otro nmero puede concebido como mltiplo de los anteriores.

[12] De hecho lo que Fermat demostr es que el rea de un tringulo pitagrico no puede ser cuadrado perfecto de ningn nmero entero, es decir, que si x,y, y z son enteros positivos, tales que la suma de los cuadrados de los dos primeros es igual al cuadrado del tercero, entonces (1/2)x. y no es cuadrado de ningn nmero. Del anterior teorema se deduce, de forma relativamente sencilla, el teorema de Fermat para cundo n es igual a 4. Puede consultarse el documentado artculo de Harold M.Edwards. Pierre de Fermat en Grandes Matemticos. Tema 1, Prensa Cientfica, S.A., Barcelona, 1995, pp.26-34.

[13] Una excelente historia de las vicisitudes de este teorema puede verse en Catherine Goldstein, El teorema de Fermat, Mundo Cientfico, 146, vol.14, pp. 416-423

[14] Como es sabido Andrew Wiles, profesor de la Universidad de Princeton, consigui una demostracin del teorema (Andrew J. Wiles, Modular Elliptic Curves and Fermats Last Theorem en Annals of Matematics, vol 141, n 3, pp. 443-551, mayo 1995). De hecho lo que Wiles estableci fue un esquema de demostracin de la conjetura STW (Shimura-Tanuyama-Weil) para el caso de las curvas elpticas semiestables, caso particular de la conjetura STW que basta para probar el ltimo teorema de Fermat. La correspondencia STW establece una correspondencia precisa entre el conjunto de las curvas elpticas y el conjunto de las funciones p formas llamadas modulares.

Por otra parte, la historia del ltimo teorema de Fermat parece poner en dificultades concepiones metodolgicas como la de Popper, como mnimo en lo que respecta a las ciencias matemticas. Aqu lo que se ha tratado no es de falsar la conjetura de Fermat sino de probarla. Estos intentos probatorios, lejos de caer en el dogmatismo o en la defensa irracional de un enunciado o en el anquilosamiento del desarrollo cientfico, han supuesto un avance considerable del quehacer matemtico. Lo esencial del espritu cientfico no consisti en refutar sino en demostrar lo intuido.

 

[15] William Dunham, Viaje a travs de los genios, Editorial Pirmide, Madrid, 1992,pp. 307-308.

[16]   Ibid. p. 308. Puede verse igualmente El legado de Hipatia, op. cit., pp. 177-178.

[17] Editada en Pars en 1826.

 

[18] W. Dunham, El universo de las matemticas, op cit, 376-379, Jean Dieudonn, En honor del espritu humano. Las matemticas hoy, Alianza Universidad, Madrid, 1989, p. 356 y Gillispie, Dictionary of Scientific Biography, vol. VII, pp.477-480. El artculo est firmado por Edna E. Kramer. Singularmente puede consultarse P. Polubarinova-Kochina, Sophia Vasilyevna Kovalevskaya, Her Life and Work, traduccin inglesa, P. Ludwick (Mosc, 1957)

[19] El legado de Hipatia, o. c., p.192

 

[20] Zustze und Bemerkungen zu Laplaces Untersuchungen ber die Gestalt der Saturnsringe, Astronomische Nachrichten, 3 (1883), 37-48.

 

[21] El legado de Hipatia, o.c., p.199.

[22] Sur le problme de la rotation dun corps solide autour dun point fixe, en Acta Mathematica, 12, (1889), 177-232

 

[23] Puede encontrarse informacin bsica sobre Emmi Noether en Jos Manuel Snchez Ron, El poder de la ciencia, Alianza editorial, Madrid, 1992, pp.193-196, Jean Dieudonn, En honor del espritu humano. Las matemticas hoy, Alianza Universidad, Madrid, 1989, p.360 y en Emmy Noether.A tribute to her life and work,  James W. Brewer y Marthe K.Smith, eds, Marcel Dekkler, Nueva York, 1981.

 

[24] Para este apartado puede consultarse el excelente artculo de Alain Boutot, El poder creador de las matemticas, en Mundo Cientfico, 98, enero 1990.

[25] William Dunham, El Universo de las Matemticas, op cit, pp.383-384.

[26] J.Beckwith y J.Durkin, Chicos, chicas y matemticas, mientras tanto, 10, diciembre 1981, pp. 71-83.

[27] Pierre Thuillier, Las pasiones del conocimiento, Alianza Universidad, Madrid 1992, Tercera parte, pp.91-114 y Evelyn Fox Keller, Reflexiones sobre gnero y ciencia, Edicions Alfons el Magnnim, Valencia,1989.

[28] Existe una versin castellana debida a Mario A. Usabiaga y Alejandro Lpez Rousseau., Tusquests, Barcelona, 1987.

[29] Douglas R. Hofstadter, Las presuposiciones tcitas y sus efectos sobre el pensamiento y el estilo literario, Investigacin y ciencia, 76, enero 1983, pp.106-111.

[30] Existe una versin castellana de What the Tortoise said to Achilles debida a Leopoldo Panero y recogida en Matemtica demente, Tusquets, Barcelona 1980, pp. 217-224.

[31] Antonia Rodrigo. Mi fuente: Carmen Alcalde, Mujeres en el franquismo, Flor del Viento Ediciones, Barcelona, 1996, p. 95.



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